विज्ञान से शुरुआत करें. फाइबोनैचि अनुक्रम और सुनहरे अनुपात के सिद्धांत फाइबोनैचि श्रृंखला में छठा नंबर

ब्रह्मांड में अभी भी कई अनसुलझे रहस्य हैं, जिनमें से कुछ को वैज्ञानिक पहले ही पहचानने और उनका वर्णन करने में सक्षम हैं। फाइबोनैचि संख्याएं और सुनहरा अनुपात हमारे आस-पास की दुनिया को जानने, उसके स्वरूप का निर्माण करने और किसी व्यक्ति द्वारा इष्टतम दृश्य धारणा का आधार बनता है, जिसकी मदद से वह सुंदरता और सद्भाव महसूस कर सकता है।

सुनहरा अनुपात

सुनहरे अनुपात के आयामों को निर्धारित करने का सिद्धांत पूरी दुनिया और उसके हिस्सों की संरचना और कार्यों में पूर्णता को रेखांकित करता है, इसकी अभिव्यक्ति प्रकृति, कला और प्रौद्योगिकी में देखी जा सकती है। स्वर्णिम अनुपात का सिद्धांत प्राचीन वैज्ञानिकों द्वारा संख्याओं की प्रकृति पर शोध के परिणामस्वरूप स्थापित किया गया था।

यह खंडों के विभाजनों के अनुपात और अनुपात के सिद्धांत पर आधारित है, जिसे प्राचीन दार्शनिक और गणितज्ञ पाइथागोरस ने बनाया था। उन्होंने साबित किया कि जब एक खंड को दो भागों में विभाजित किया जाता है: X (छोटा) और Y (बड़ा), तो बड़े से छोटे का अनुपात उनके योग (संपूर्ण खंड) के अनुपात के बराबर होगा:

परिणाम एक समीकरण है: एक्स 2 - एक्स - 1=0,जिसे इस प्रकार हल किया गया है x=(1±√5)/2.

यदि हम अनुपात 1/x पर विचार करें, तो यह बराबर है 1,618…

प्राचीन विचारकों द्वारा स्वर्णिम अनुपात के उपयोग का प्रमाण तीसरी शताब्दी में लिखी गई यूक्लिड की पुस्तक "एलिमेंट्स" में दिया गया है। बी.सी., जिन्होंने नियमित पंचकोणों के निर्माण के लिए इस नियम को लागू किया। पाइथागोरस के बीच, यह आकृति पवित्र मानी जाती है क्योंकि यह सममित और असममित दोनों है। पेंटाग्राम जीवन और स्वास्थ्य का प्रतीक है।

फाइबोनैचि संख्याएँ

पीसा के इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो, जिसे बाद में फाइबोनैचि के नाम से जाना गया, की प्रसिद्ध पुस्तक लिबर अबासी 1202 में प्रकाशित हुई थी। इसमें वैज्ञानिक पहली बार संख्याओं के पैटर्न का हवाला देते हैं, जिसकी श्रृंखला में प्रत्येक संख्या का योग होता है। 2 पिछले अंक. फाइबोनैचि संख्या अनुक्रम इस प्रकार है:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, आदि।

वैज्ञानिक ने कई पैटर्न भी उद्धृत किये:

• श्रृंखला की किसी भी संख्या को अगली संख्या से विभाजित करने पर वह मान 0.618 के बराबर होगा। इसके अलावा, पहली फाइबोनैचि संख्याएँ ऐसी कोई संख्या नहीं देती हैं, लेकिन जैसे-जैसे हम अनुक्रम की शुरुआत से आगे बढ़ेंगे, यह अनुपात अधिक से अधिक सटीक होता जाएगा।
• यदि आप श्रृंखला की संख्या को पिछली संख्या से विभाजित करते हैं, तो परिणाम 1.618 हो जाएगा।
• एक संख्या को अगली संख्या से एक से विभाजित करने पर मान 0.382 दिखेगा।

सुनहरे खंड, फाइबोनैचि संख्या (0.618) के कनेक्शन और पैटर्न का अनुप्रयोग न केवल गणित में, बल्कि प्रकृति, इतिहास, वास्तुकला और निर्माण और कई अन्य विज्ञानों में भी पाया जा सकता है।

आर्किमिडीज़ सर्पिल और सुनहरा आयत

प्रकृति में बहुत सामान्य सर्पिलों का अध्ययन आर्किमिडीज़ द्वारा किया गया था, जिन्होंने इसका समीकरण भी निकाला था। सर्पिल का आकार सुनहरे अनुपात के नियमों पर आधारित है। इसे खोलते समय, एक लंबाई प्राप्त होती है जिस पर अनुपात और फाइबोनैचि संख्याएं लागू की जा सकती हैं; चरण समान रूप से बढ़ता है।

फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के बीच समानता को एक "सुनहरा आयत" बनाकर देखा जा सकता है जिसकी भुजाएँ 1.618:1 के समानुपाती होती हैं। इसे एक बड़े आयत से छोटे आयत की ओर ले जाकर बनाया गया है ताकि भुजाओं की लंबाई श्रृंखला की संख्याओं के बराबर हो। इसे वर्ग "1" से प्रारंभ करके उल्टे क्रम में भी बनाया जा सकता है। जब इस आयत के कोनों को उनके प्रतिच्छेदन के केंद्र पर रेखाओं द्वारा जोड़ा जाता है, तो एक फाइबोनैचि या लघुगणकीय सर्पिल प्राप्त होता है।

सुनहरे अनुपात के उपयोग का इतिहास

मिस्र के कई प्राचीन वास्तुशिल्प स्मारक सुनहरे अनुपात का उपयोग करके बनाए गए थे: चेप्स के प्रसिद्ध पिरामिड, आदि। प्राचीन ग्रीस के वास्तुकारों ने मंदिरों, एम्फीथिएटर और स्टेडियम जैसी वास्तुशिल्प वस्तुओं के निर्माण में उनका व्यापक रूप से उपयोग किया था। उदाहरण के लिए, ऐसे अनुपात का उपयोग पार्थेनन के प्राचीन मंदिर, (एथेंस) और अन्य वस्तुओं के निर्माण में किया गया था जो गणितीय पैटर्न के आधार पर सद्भाव का प्रदर्शन करते हुए प्राचीन वास्तुकला की उत्कृष्ट कृतियाँ बन गईं।

बाद की शताब्दियों में, सुनहरे अनुपात में रुचि कम हो गई और पैटर्न को भुला दिया गया, लेकिन फ्रांसिस्कन भिक्षु एल. पैसिओली डी बोर्गो की पुस्तक "द डिवाइन प्रोपोर्शन" (1509) के साथ यह पुनर्जागरण में फिर से शुरू हुआ। इसमें लियोनार्डो दा विंची के चित्र शामिल थे, जिन्होंने नया नाम "गोल्डन रेशियो" स्थापित किया था। सुनहरे अनुपात के 12 गुण वैज्ञानिक रूप से भी सिद्ध हो चुके हैं, और लेखक ने इस बारे में बात की है कि यह प्रकृति, कला में कैसे प्रकट होता है और इसे "दुनिया और प्रकृति के निर्माण का सिद्धांत" कहा जाता है।

विट्रुवियन मैन लियोनार्डो

चित्र, जिसे लियोनार्डो दा विंची ने 1492 में विट्रुवियस की पुस्तक को चित्रित करने के लिए उपयोग किया था, में 2 स्थितियों में एक मानव आकृति को दर्शाया गया है, जिसमें भुजाएँ फैली हुई हैं। आकृति एक वृत्त और एक वर्ग में अंकित है। इस चित्र को मानव शरीर (पुरुष) का विहित अनुपात माना जाता है, जिसका वर्णन लियोनार्डो ने रोमन वास्तुकार विट्रुवियस के ग्रंथों में उनके अध्ययन के आधार पर किया है।

हाथों और पैरों के अंत से समान दूरी पर शरीर का केंद्र नाभि है, हाथों की लंबाई व्यक्ति की ऊंचाई के बराबर है, कंधों की अधिकतम चौड़ाई = ऊंचाई का 1/8, छाती के शीर्ष से बालों तक की दूरी = 1/7, छाती के शीर्ष से सिर के शीर्ष तक की दूरी = 1/6 आदि।

तब से, चित्र का उपयोग मानव शरीर की आंतरिक समरूपता को दर्शाने वाले प्रतीक के रूप में किया जाता रहा है।

लियोनार्डो ने मानव आकृति में आनुपातिक संबंधों को निर्दिष्ट करने के लिए "गोल्डन रेशियो" शब्द का उपयोग किया। उदाहरण के लिए, कमर से पैरों तक की दूरी नाभि से सिर के ऊपर तक उसी दूरी से संबंधित होती है, जिस प्रकार ऊंचाई पहली लंबाई (कमर से नीचे) तक होती है। यह गणना सुनहरे अनुपात की गणना करते समय खंडों के अनुपात के समान ही की जाती है और 1.618 तक जाती है।

इन सभी सामंजस्यपूर्ण अनुपातों का उपयोग अक्सर कलाकारों द्वारा सुंदर और प्रभावशाली रचनाएँ बनाने के लिए किया जाता है।

16वीं से 19वीं शताब्दी में स्वर्णिम अनुपात पर शोध

सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करते हुए, अनुपात के मुद्दे पर शोध सदियों से चल रहा है। लियोनार्डो दा विंची के समानांतर, जर्मन कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने भी मानव शरीर के सही अनुपात के सिद्धांत को विकसित करने पर काम किया। इस उद्देश्य के लिए उन्होंने एक विशेष कम्पास भी बनाया।

16वीं सदी में फाइबोनैचि संख्या और सुनहरे अनुपात के बीच संबंध का प्रश्न खगोलशास्त्री आई. केप्लर के काम के लिए समर्पित था, जिन्होंने सबसे पहले इन नियमों को वनस्पति विज्ञान में लागू किया था।

19वीं शताब्दी में एक नई "खोज" सुनहरे अनुपात की प्रतीक्षा कर रही थी। जर्मन वैज्ञानिक प्रोफ़ेसर ज़ीसिग की "एस्थेटिक इन्वेस्टिगेशन" के प्रकाशन के साथ। उन्होंने इन अनुपातों को निरपेक्षता तक बढ़ाया और घोषित किया कि वे सभी प्राकृतिक घटनाओं के लिए सार्वभौमिक हैं। उन्होंने बड़ी संख्या में लोगों, या बल्कि उनके शारीरिक अनुपात (लगभग 2 हजार) का अध्ययन किया, जिसके परिणामों के आधार पर शरीर के विभिन्न हिस्सों के अनुपात में सांख्यिकीय रूप से पुष्टि किए गए पैटर्न के बारे में निष्कर्ष निकाले गए: कंधों की लंबाई, अग्रबाहु, हाथ, उंगलियाँ, आदि।

कविताएँ लिखते समय कला की वस्तुओं (फूलदान, वास्तुशिल्प संरचनाएँ), संगीतमय स्वर और आकार का भी अध्ययन किया गया - ज़ीसिग ने खंडों और संख्याओं की लंबाई के माध्यम से यह सब प्रदर्शित किया, और उन्होंने "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" शब्द भी पेश किया। परिणाम प्राप्त करने के बाद, यह पता चला कि फाइबोनैचि श्रृंखला प्राप्त की गई थी।

प्रकृति में फाइबोनैचि संख्या और स्वर्णिम अनुपात

वनस्पति एवं प्राणी जगत में समरूपता के रूप में आकृति विज्ञान की प्रवृत्ति होती है, जो विकास एवं गति की दिशा में देखी जाती है। सममित भागों में विभाजन जिसमें सुनहरे अनुपात देखे जाते हैं - यह पैटर्न कई पौधों और जानवरों में निहित है।

उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके हमारे आस-पास की प्रकृति का वर्णन किया जा सकता है:

• किसी भी पौधे की पत्तियों या शाखाओं की व्यवस्था, साथ ही दूरियाँ, दी गई संख्याओं 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 इत्यादि की श्रृंखला के अनुरूप होती हैं;
• सूरजमुखी के बीज (शंकु, अनानास कोशिकाओं पर तराजू), अलग-अलग दिशाओं में मुड़े हुए सर्पिल के साथ दो पंक्तियों में व्यवस्थित;
• पूंछ की लंबाई और छिपकली के पूरे शरीर का अनुपात;
• एक अंडे का आकार, यदि आप उसके चौड़े हिस्से के माध्यम से एक रेखा खींचते हैं;
• किसी व्यक्ति के हाथ की उंगलियों के आकार का अनुपात।

और, निस्संदेह, सबसे दिलचस्प आकृतियों में सर्पिल घोंघे के गोले, मकड़ी के जाले पर पैटर्न, तूफान के अंदर हवा की गति, डीएनए में डबल हेलिक्स और आकाशगंगाओं की संरचना शामिल हैं - जिनमें से सभी में फाइबोनैचि अनुक्रम शामिल है।

कला में स्वर्णिम अनुपात का उपयोग

शोधकर्ता कला में सुनहरे अनुपात के उपयोग के उदाहरणों की खोज करते हुए विभिन्न वास्तुशिल्प वस्तुओं और चित्रकला के कार्यों का विस्तार से अध्ययन कर रहे हैं। प्रसिद्ध मूर्तिकला कृतियाँ हैं, जिनके निर्माता सुनहरे अनुपात का पालन करते हैं - ओलंपियन ज़ीउस, अपोलो बेल्वेडियर और की मूर्तियाँ

लियोनार्डो दा विंची की रचनाओं में से एक, "पोर्ट्रेट ऑफ़ द मोना लिसा", कई वर्षों से वैज्ञानिकों द्वारा शोध का विषय रही है। उन्होंने पाया कि कार्य की संरचना पूरी तरह से "सुनहरे त्रिकोण" से बनी है जो एक नियमित पंचकोण-तारे में एक साथ एकजुट हैं। दा विंची के सभी कार्य इस बात के प्रमाण हैं कि मानव शरीर की संरचना और अनुपात में उनका ज्ञान कितना गहरा था, जिसकी बदौलत वह मोना लिसा की अविश्वसनीय रहस्यमय मुस्कान को पकड़ने में सक्षम थे।

वास्तुकला में स्वर्णिम अनुपात

एक उदाहरण के रूप में, वैज्ञानिकों ने "गोल्डन रेशियो" के नियमों के अनुसार बनाई गई वास्तुशिल्प उत्कृष्ट कृतियों की जांच की: मिस्र के पिरामिड, पेंथियन, पार्थेनन, नोट्रे डेम डे पेरिस कैथेड्रल, सेंट बेसिल कैथेड्रल, आदि।

पार्थेनन - प्राचीन ग्रीस (5वीं शताब्दी ईसा पूर्व) की सबसे खूबसूरत इमारतों में से एक - में 8 स्तंभ हैं और अलग-अलग तरफ 17 ​​हैं, इसकी ऊंचाई और किनारों की लंबाई का अनुपात 0.618 है। इसके अग्रभागों पर उभार "सुनहरा अनुपात" (नीचे फोटो) के अनुसार बनाए गए हैं।

उन वैज्ञानिकों में से एक, जिन्होंने वास्तुशिल्प वस्तुओं (तथाकथित "मॉड्यूलर") के लिए अनुपात की मॉड्यूलर प्रणाली में सुधार किया और सफलतापूर्वक लागू किया, वह फ्रांसीसी वास्तुकार ले कोर्बुसीयर थे। मॉड्यूलेटर मानव शरीर के भागों में सशर्त विभाजन से जुड़ी एक माप प्रणाली पर आधारित है।

रूसी वास्तुकार एम. कज़ाकोव, जिन्होंने मॉस्को में कई आवासीय भवनों के साथ-साथ क्रेमलिन में सीनेट भवन और गोलित्सिन अस्पताल (अब एन.आई. पिरोगोव के नाम पर पहला क्लिनिक) का निर्माण किया, उन वास्तुकारों में से एक थे जिन्होंने डिजाइन में कानूनों का इस्तेमाल किया और सुनहरे अनुपात के बारे में निर्माण.

डिज़ाइन में अनुपात लागू करना

कपड़ों के डिजाइन में, सभी फैशन डिजाइनर मानव शरीर के अनुपात और सुनहरे अनुपात के नियमों को ध्यान में रखते हुए नई छवियां और मॉडल बनाते हैं, हालांकि स्वभाव से सभी लोगों के पास आदर्श अनुपात नहीं होता है।

लैंडस्केप डिज़ाइन की योजना बनाते समय और पौधों (पेड़ों और झाड़ियों), फव्वारों और छोटी वास्तुशिल्प वस्तुओं की मदद से त्रि-आयामी पार्क रचनाएँ बनाते समय, "दिव्य अनुपात" के नियमों को भी लागू किया जा सकता है। आखिरकार, पार्क की संरचना का ध्यान आगंतुक पर प्रभाव डालने पर केंद्रित होना चाहिए, जो इसे स्वतंत्र रूप से नेविगेट करने और संरचना केंद्र ढूंढने में सक्षम होगा।

पार्क के सभी तत्व ऐसे अनुपात में हैं कि ज्यामितीय संरचना, सापेक्ष स्थिति, रोशनी और रोशनी की मदद से सद्भाव और पूर्णता की छाप पैदा हो सके।

साइबरनेटिक्स और प्रौद्योगिकी में स्वर्णिम अनुपात का अनुप्रयोग

स्वर्ण खंड और फाइबोनैचि संख्याओं के नियम ऊर्जा संक्रमणों में, रासायनिक यौगिकों को बनाने वाले प्राथमिक कणों के साथ होने वाली प्रक्रियाओं में, अंतरिक्ष प्रणालियों में और डीएनए की आनुवंशिक संरचना में भी दिखाई देते हैं।

इसी तरह की प्रक्रियाएं मानव शरीर में होती हैं, जो उसके जीवन के बायोरिदम में, अंगों की क्रिया में प्रकट होती हैं, उदाहरण के लिए, मस्तिष्क या दृष्टि।

आधुनिक साइबरनेटिक्स और कंप्यूटर विज्ञान में सुनहरे अनुपात के एल्गोरिदम और पैटर्न का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। नौसिखिया प्रोग्रामर को हल करने के लिए जो सरल कार्य दिए जाते हैं उनमें से एक है एक सूत्र लिखना और प्रोग्रामिंग भाषाओं का उपयोग करके एक निश्चित संख्या तक फाइबोनैचि संख्याओं का योग निर्धारित करना।

स्वर्णिम अनुपात के सिद्धांत पर आधुनिक शोध

20वीं सदी के मध्य से, मानव जीवन पर स्वर्णिम अनुपात के नियमों की समस्याओं और प्रभाव में रुचि तेजी से बढ़ी है, और विभिन्न व्यवसायों के कई वैज्ञानिकों में: गणितज्ञ, जातीय शोधकर्ता, जीवविज्ञानी, दार्शनिक, चिकित्सा कार्यकर्ता, अर्थशास्त्री, संगीतकार, वगैरह।

संयुक्त राज्य अमेरिका में, द फाइबोनैचि क्वार्टरली पत्रिका का प्रकाशन 1970 के दशक में शुरू हुआ, जहाँ इस विषय पर रचनाएँ प्रकाशित हुईं। प्रेस में ऐसे कार्य छपते हैं जिनमें ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि श्रृंखला के सामान्यीकृत नियमों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, सूचना कोडिंग, रासायनिक अनुसंधान, जैविक अनुसंधान आदि के लिए।

यह सब प्राचीन और आधुनिक वैज्ञानिकों के निष्कर्षों की पुष्टि करता है कि सुनहरा अनुपात बहुपक्षीय रूप से विज्ञान के मूलभूत मुद्दों से संबंधित है और हमारे आसपास की दुनिया की कई रचनाओं और घटनाओं की समरूपता में प्रकट होता है।

लियोनार्डो फाइबोनैचि मध्य युग के महानतम गणितज्ञों में से एक हैं। अपने कार्यों में से एक, "द बुक ऑफ कैलकुलेशन" में फिबोनाची ने गणना की इंडो-अरबी प्रणाली और रोमन प्रणाली की तुलना में इसके उपयोग के फायदों का वर्णन किया है।

परिभाषा
फाइबोनैचि संख्या या फाइबोनैचि अनुक्रम एक संख्या अनुक्रम है जिसमें कई गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, एक अनुक्रम में दो आसन्न संख्याओं का योग अगली संख्या का मान देता है (उदाहरण के लिए, 1+1=2; 2+3=5, आदि), जो तथाकथित फाइबोनैचि गुणांक के अस्तित्व की पुष्टि करता है , अर्थात। स्थिर अनुपात.

फाइबोनैचि अनुक्रम इस तरह शुरू होता है: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

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फाइबोनैचि संख्याओं की पूर्ण परिभाषा

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फाइबोनैचि अनुक्रम के गुण

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1. जैसे-जैसे क्रम संख्या बढ़ती है, प्रत्येक संख्या का अगली संख्या से अनुपात 0.618 हो जाता है। प्रत्येक संख्या का पिछली संख्या से अनुपात 1.618 (0.618 के विपरीत) हो जाता है। संख्या 0.618 को (FI) कहा जाता है।

2. प्रत्येक संख्या को उसके बाद वाली संख्या से विभाजित करने पर, एक के बाद वाली संख्या 0.382 होती है; इसके विपरीत - क्रमशः 2.618.

3. इस प्रकार अनुपातों का चयन करने पर, हमें फाइबोनैचि अनुपातों का मुख्य सेट प्राप्त होता है: ... 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236।

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फाइबोनैचि अनुक्रम और "सुनहरा अनुपात" के बीच संबंध

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फाइबोनैचि अनुक्रम स्पर्शोन्मुख रूप से (धीमे और धीमे होते हुए) कुछ निरंतर संबंध की ओर प्रवृत्त होता है। हालाँकि, यह अनुपात अपरिमेय है, अर्थात, यह भिन्नात्मक भाग में दशमलव अंकों के अनंत, अप्रत्याशित अनुक्रम वाली एक संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। इसे सटीक रूप से व्यक्त करना असंभव है.

यदि फाइबोनैचि अनुक्रम के किसी भी सदस्य को उसके पूर्ववर्ती (उदाहरण के लिए, 13:8) से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम एक ऐसा मान होगा जो अपरिमेय मान 1.61803398875 के आसपास उतार-चढ़ाव करता है... और कभी-कभी इससे अधिक हो जाता है, कभी-कभी उस तक नहीं पहुंचता है। लेकिन इस पर अनंत काल खर्च करने के बाद भी, अंतिम दशमलव अंक तक अनुपात का सटीक पता लगाना असंभव है। संक्षिप्तता के लिए हम इसे 1.618 के रूप में प्रस्तुत करेंगे। लुका पैसिओली (एक मध्ययुगीन गणितज्ञ) द्वारा इसे दैवीय अनुपात कहने से पहले ही इस अनुपात को विशेष नाम दिए जाने लगे थे। इसके आधुनिक नामों में गोल्डन रेशियो, गोल्डन एवरेज और घूमने वाले वर्गों का अनुपात शामिल हैं। केप्लर ने इस रिश्ते को "ज्यामिति के खजाने" में से एक कहा। बीजगणित में, इसे आमतौर पर ग्रीक अक्षर फाई द्वारा दर्शाया जाना स्वीकार किया जाता है

आइए एक खंड के उदाहरण का उपयोग करके सुनहरे अनुपात की कल्पना करें।

A और B सिरों वाले एक खंड पर विचार करें। मान लीजिए कि बिंदु C खंड AB को इस प्रकार विभाजित करता है,

एसी/सीबी = सीबी/एबी या

एबी/सीबी = सीबी/एसी.

आप इसकी कल्पना कुछ इस तरह कर सकते हैं: ए--सी---बी

7.

स्वर्णिम अनुपात एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें संपूर्ण खंड बड़े भाग से संबंधित होता है जैसे कि बड़ा भाग स्वयं छोटे से संबंधित होता है; या दूसरे शब्दों में, छोटा खंड बड़े के लिए है और बड़ा संपूर्ण के लिए है।

8.

सुनहरे अनुपात के खंडों को एक अनंत अपरिमेय अंश 0.618... के रूप में व्यक्त किया जाता है, यदि एबी को एक के रूप में लिया जाता है, एसी = 0.382.. जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, संख्याएं 0.618 और 0.382 फाइबोनैचि अनुक्रम के गुणांक हैं।

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प्रकृति और इतिहास में फाइबोनैचि अनुपात और स्वर्णिम अनुपात

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यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि फाइबोनैचि मानवता को उसके अनुक्रम की याद दिलाता प्रतीत होता है। यह प्राचीन यूनानियों और मिस्रवासियों को ज्ञात था। और वास्तव में, तब से, फाइबोनैचि अनुपात द्वारा वर्णित पैटर्न प्रकृति, वास्तुकला, ललित कला, गणित, भौतिकी, खगोल विज्ञान, जीव विज्ञान और कई अन्य क्षेत्रों में पाए गए हैं। यह आश्चर्यजनक है कि फाइबोनैचि अनुक्रम का उपयोग करके कितने स्थिरांक की गणना की जा सकती है, और इसके पद बड़ी संख्या में संयोजनों में कैसे दिखाई देते हैं। हालाँकि, यह कहना कोई अतिशयोक्ति नहीं है कि यह केवल संख्याओं का खेल नहीं है, बल्कि अब तक खोजी गई प्राकृतिक घटनाओं की सबसे महत्वपूर्ण गणितीय अभिव्यक्ति है।

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नीचे दिए गए उदाहरण इस गणितीय अनुक्रम के कुछ दिलचस्प अनुप्रयोग दिखाते हैं।

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1. सिंक एक सर्पिल में मुड़ा हुआ है। यदि आप इसे खोलते हैं, तो आपको सांप की लंबाई से थोड़ी छोटी लंबाई मिलती है। छोटे दस-सेंटीमीटर खोल में 35 सेमी लंबा एक सर्पिल होता है। सर्पिल रूप से घुमावदार खोल के आकार ने आर्किमिडीज़ का ध्यान आकर्षित किया। तथ्य यह है कि शैल कर्ल के आयामों का अनुपात स्थिर है और 1.618 के बराबर है। आर्किमिडीज़ ने कोशों के सर्पिल का अध्ययन किया और सर्पिल का समीकरण निकाला। इस समीकरण के अनुसार खींचे गए सर्पिल को उनके नाम से पुकारा जाता है। उसके कदम में वृद्धि हमेशा एक समान होती है। वर्तमान में, आर्किमिडीज़ सर्पिल का व्यापक रूप से प्रौद्योगिकी में उपयोग किया जाता है।

2. पौधे और जानवर। गोएथे ने प्रकृति की सर्पिलता की प्रवृत्ति पर भी जोर दिया। पेड़ की शाखाओं पर पत्तियों की पेचदार और सर्पिल व्यवस्था बहुत पहले ही देखी गई थी। सर्पिल को सूरजमुखी के बीज, पाइन शंकु, अनानास, कैक्टि, आदि की व्यवस्था में देखा गया था। वनस्पतिशास्त्रियों और गणितज्ञों का संयुक्त कार्य इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डालता है। यह पता चला कि सूरजमुखी के बीज और पाइन शंकु की एक शाखा पर पत्तियों की व्यवस्था में, फाइबोनैचि श्रृंखला स्वयं प्रकट होती है, और इसलिए, सुनहरे अनुपात का नियम स्वयं प्रकट होता है। मकड़ी अपना जाल सर्पिल पैटर्न में बुनती है। एक तूफान सर्पिल की तरह घूम रहा है। हिरन का भयभीत झुंड एक सर्पिल में बिखर जाता है। डीएनए अणु एक दोहरे हेलिक्स में मुड़ा हुआ है। गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा।

सड़क किनारे जड़ी-बूटियों के बीच एक अनोखा पौधा उगता है - चिकोरी। आइए इस पर करीब से नज़र डालें। मुख्य तने से एक अंकुर बन गया है। पहला पत्ता वहीं स्थित था। शूट अंतरिक्ष में एक मजबूत इजेक्शन करता है, रुकता है, एक पत्ती छोड़ता है, लेकिन इस बार यह पहले की तुलना में छोटा है, फिर से स्पेस में इजेक्शन करता है, लेकिन कम बल के साथ, इससे भी छोटे आकार की एक पत्ती छोड़ता है और फिर से बाहर निकल जाता है . यदि पहला उत्सर्जन 100 इकाइयों के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 इकाइयों के बराबर होता है, तीसरा - 38, चौथा - 24, आदि। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। बढ़ते और अंतरिक्ष पर विजय प्राप्त करते समय, पौधे ने कुछ निश्चित अनुपात बनाए रखा। इसके विकास के आवेग सुनहरे अनुपात के अनुपात में धीरे-धीरे कम होते गए।

छिपकली जीवित बच्चा जनने वाली होती है। पहली नज़र में, छिपकली का अनुपात हमारी आंखों के लिए सुखद होता है - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई से संबंधित होती है, जैसे कि 62 से 38।

पौधे और पशु जगत दोनों में, प्रकृति की रचनात्मक प्रवृत्ति लगातार टूटती रहती है - विकास और गति की दिशा के संबंध में समरूपता। यहां सुनहरा अनुपात विकास की दिशा के लंबवत भागों के अनुपात में दिखाई देता है। प्रकृति ने विभाजन को सममित भागों और सुनहरे अनुपातों में किया है। भाग संपूर्ण संरचना की पुनरावृत्ति को प्रकट करते हैं।

इस सदी की शुरुआत में पियरे क्यूरी ने समरूपता के बारे में कई गहन विचार तैयार किए। उन्होंने तर्क दिया कि पर्यावरण की समरूपता को ध्यान में रखे बिना कोई भी किसी पिंड की समरूपता पर विचार नहीं कर सकता है। स्वर्ण समरूपता के नियम प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, ग्रहों और ब्रह्मांडीय प्रणालियों में, जीवित जीवों की जीन संरचनाओं में प्रकट होते हैं। ये पैटर्न, जैसा कि ऊपर बताया गया है, व्यक्तिगत मानव अंगों और संपूर्ण शरीर की संरचना में मौजूद हैं, और मस्तिष्क के बायोरिदम और कामकाज और दृश्य धारणा में भी खुद को प्रकट करते हैं।

3. अंतरिक्ष. खगोल विज्ञान के इतिहास से ज्ञात होता है कि 18वीं शताब्दी के जर्मन खगोलशास्त्री आई. टिटियस ने इस श्रृंखला (फाइबोनैचि) की मदद से सौर मंडल के ग्रहों के बीच की दूरी में एक पैटर्न और क्रम पाया था।

हालाँकि, एक मामला जो कानून का खंडन करता प्रतीत हुआ: मंगल और बृहस्पति के बीच कोई ग्रह नहीं था। आकाश के इस हिस्से के केंद्रित अवलोकन से क्षुद्रग्रह बेल्ट की खोज हुई। यह 19वीं सदी की शुरुआत में टिटियस की मृत्यु के बाद हुआ।

फाइबोनैचि श्रृंखला का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: इसका उपयोग जीवित प्राणियों की वास्तुकला, मानव निर्मित संरचनाओं और आकाशगंगाओं की संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। ये तथ्य संख्या श्रृंखला की अभिव्यक्ति की स्थितियों से स्वतंत्रता के प्रमाण हैं, जो इसकी सार्वभौमिकता के संकेतों में से एक है।

4. पिरामिड. कई लोगों ने गीज़ा के पिरामिड के रहस्यों को जानने की कोशिश की है। मिस्र के अन्य पिरामिडों के विपरीत, यह कोई कब्र नहीं है, बल्कि संख्या संयोजनों की एक अबूझ पहेली है। पिरामिड के वास्तुकारों ने शाश्वत प्रतीक के निर्माण में जो उल्लेखनीय प्रतिभा, कौशल, समय और श्रम लगाया, वह उस संदेश के अत्यधिक महत्व को दर्शाता है जो वे भविष्य की पीढ़ियों को बताना चाहते थे। उनका युग प्रीलिटरेट, प्रीहाइरोग्लिफ़िक था, और प्रतीक खोजों को रिकॉर्ड करने का एकमात्र साधन थे। गीज़ा के पिरामिड के ज्यामितीय-गणितीय रहस्य की कुंजी, जो लंबे समय से मानव जाति के लिए एक रहस्य थी, वास्तव में हेरोडोटस को मंदिर के पुजारियों द्वारा दी गई थी, जिन्होंने उसे सूचित किया था कि पिरामिड का निर्माण इस प्रकार किया गया था कि इसका क्षेत्रफल उसका प्रत्येक फलक उसकी ऊँचाई के वर्ग के बराबर था।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल

356 x 440/2 = 78320

चौकोर क्षेत्र

280 x 280 = 78400

गीज़ा में पिरामिड के आधार के किनारे की लंबाई 783.3 फीट (238.7 मीटर) है, पिरामिड की ऊंचाई 484.4 फीट (147.6 मीटर) है। आधार किनारे की लंबाई को ऊंचाई से विभाजित करने पर अनुपात Ф=1.618 प्राप्त होता है। 484.4 फीट की ऊंचाई 5813 इंच (5-8-13) से मेल खाती है - ये फाइबोनैचि अनुक्रम से संख्याएं हैं। ये दिलचस्प अवलोकन बताते हैं कि पिरामिड का डिज़ाइन अनुपात Ф=1.618 पर आधारित है। कुछ आधुनिक विद्वान यह व्याख्या करने में इच्छुक हैं कि प्राचीन मिस्रवासियों ने इसे ज्ञान प्रदान करने के एकमात्र उद्देश्य के लिए बनाया था जिसे वे भविष्य की पीढ़ियों के लिए संरक्षित करना चाहते थे। गीज़ा के पिरामिड के गहन अध्ययन से पता चला कि उस समय गणित और ज्योतिष का ज्ञान कितना व्यापक था। पिरामिड के सभी आंतरिक और बाहरी अनुपातों में, संख्या 1.618 एक केंद्रीय भूमिका निभाती है।

मेक्सिको में पिरामिड. न केवल मिस्र के पिरामिड सुनहरे अनुपात के सही अनुपात के अनुसार बनाए गए थे, वही घटना मैक्सिकन पिरामिड में भी पाई गई थी। यह विचार उठता है कि मिस्र और मैक्सिकन दोनों पिरामिड लगभग एक ही समय में सामान्य मूल के लोगों द्वारा बनाए गए थे।

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निस्संदेह, आप इस विचार से परिचित हैं कि गणित सभी विज्ञानों में सबसे महत्वपूर्ण है। लेकिन कई लोग इससे असहमत हो सकते हैं, क्योंकि... कभी-कभी ऐसा लगता है कि गणित सिर्फ समस्याएं, उदाहरण और इसी तरह की उबाऊ चीजें हैं। हालाँकि, गणित हमें पूरी तरह से अपरिचित पक्ष से परिचित चीजें आसानी से दिखा सकता है। इसके अलावा, वह ब्रह्मांड के रहस्यों को भी उजागर कर सकती है। कैसे? आइए फाइबोनैचि संख्याओं को देखें।

फाइबोनैचि संख्याएँ क्या हैं?

फाइबोनैचि संख्याएं एक संख्यात्मक अनुक्रम के तत्व हैं, जहां प्रत्येक अगला पिछले दो को जोड़कर होता है, उदाहरण के लिए: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... एक नियम के रूप में, ऐसा क्रम सूत्र द्वारा लिखा जाता है: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2।

फाइबोनैचि संख्याएं "एन" के नकारात्मक मानों से शुरू हो सकती हैं, लेकिन इस मामले में अनुक्रम दो-तरफ़ा होगा - यह सकारात्मक और नकारात्मक दोनों संख्याओं को कवर करेगा, जो दोनों दिशाओं में अनंत की ओर प्रवृत्त होंगे। ऐसे अनुक्रम का एक उदाहरण होगा: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34, और सूत्र होगा: F n = F n+1 - F n+2 या F -n = (-1) n+1 Fn।

फाइबोनैचि संख्याओं के निर्माता मध्य युग में यूरोप के पहले गणितज्ञों में से एक हैं, जिनका नाम पीसा के लियोनार्डो है, जिन्हें वास्तव में फाइबोनैचि के नाम से जाना जाता है - उन्हें यह उपनाम उनकी मृत्यु के कई वर्षों बाद मिला।

अपने जीवनकाल के दौरान, पीसा के लियोनार्डो को गणितीय प्रतियोगिताओं का बहुत शौक था, यही कारण है कि उनके कार्यों में ("लिबर अबासी" / "बुक ऑफ अबेकस", 1202; "प्रैक्टिका जियोमेट्री" / "प्रैक्टिस ऑफ ज्योमेट्री", 1220, "फ्लोस" / "फ्लावर", 1225) - क्यूबिक समीकरणों और "लिबर क्वाड्रेटरम" पर एक अध्ययन / "बुक ऑफ स्क्वेयर", 1225 - अनिश्चित द्विघात समीकरणों के बारे में समस्याएं) अक्सर सभी प्रकार की गणितीय समस्याओं का विश्लेषण किया जाता है।

स्वयं फाइबोनैचि के जीवन पथ के बारे में बहुत कम जानकारी है। लेकिन यह निश्चित है कि उनकी समस्याओं को बाद की शताब्दियों में गणितीय हलकों में भारी लोकप्रियता मिली। हम इनमें से एक पर आगे विचार करेंगे।

खरगोशों के साथ फाइबोनैचि समस्या

कार्य को पूरा करने के लिए, लेखक ने निम्नलिखित स्थितियाँ निर्धारित कीं: नवजात खरगोशों (मादा और नर) की एक जोड़ी है, जो एक दिलचस्प विशेषता से प्रतिष्ठित है - जीवन के दूसरे महीने से, वे खरगोशों की एक नई जोड़ी पैदा करते हैं - एक मादा और एक भी एक पुरुष। खरगोशों को सीमित स्थानों में रखा जाता है और वे लगातार प्रजनन करते रहते हैं। और एक भी खरगोश नहीं मरता.

काम: एक वर्ष में खरगोशों की संख्या निर्धारित करें।

समाधान:

हमारे पास है:

• पहले महीने की शुरुआत में खरगोशों का एक जोड़ा, जो महीने के अंत में संभोग करता है
• दूसरे महीने में खरगोश के दो जोड़े (पहला जोड़ा और संतान)
• तीसरे महीने में खरगोशों के तीन जोड़े (पहला जोड़ा, पिछले महीने के पहले जोड़े की संतान और नई संतान)
• चौथे महीने में पाँच जोड़े खरगोश (पहला जोड़ा, पहले जोड़े की पहली और दूसरी संतान, पहले जोड़े की तीसरी संतान और दूसरे जोड़े की पहली संतान)

प्रति माह खरगोशों की संख्या "एन" = पिछले महीने खरगोशों की संख्या + खरगोशों के नए जोड़े की संख्या, दूसरे शब्दों में, उपरोक्त सूत्र: एफ एन = एफ एन-1 + एफ एन-2। इसके परिणामस्वरूप एक आवर्ती संख्या अनुक्रम बनता है (हम बाद में पुनरावृत्ति के बारे में बात करेंगे), जहां प्रत्येक नई संख्या दो पिछली संख्याओं के योग से मेल खाती है:

1 महीना: 1 + 1 = 2

2 महीना: 2 + 1 = 3

3 महीना: 3 + 2 = 5

4 महीना: 5 + 3 = 8

5 महीना: 8 + 5 = 13

6 महीना: 13 + 8 = 21

7वां महीना: 21 + 13 = 34

आठवां महीना: 34 + 21 = 55

9वां महीना: 55 + 34 = 89

10वां महीना: 89 + 55 = 144

11वाँ महीना: 144 + 89 = 233

12 महीना: 233+ 144 = 377

और यह क्रम अनिश्चित काल तक जारी रह सकता है, लेकिन यह देखते हुए कि कार्य एक वर्ष के बाद खरगोशों की संख्या का पता लगाना है, परिणाम 377 जोड़े हैं।

यहां यह भी ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि फाइबोनैचि संख्याओं का एक गुण यह है कि यदि आप दो लगातार जोड़ियों की तुलना करते हैं और फिर बड़े को छोटे से विभाजित करते हैं, तो परिणाम सुनहरे अनुपात की ओर बढ़ जाएगा, जिसके बारे में हम नीचे भी बात करेंगे। .

इस बीच, हम आपको फाइबोनैचि संख्याओं पर दो और समस्याएं प्रदान करते हैं:

• एक वर्ग संख्या ज्ञात करें, जिसके बारे में हम केवल इतना जानते हैं कि यदि आप इसमें से 5 घटा दें या इसमें 5 जोड़ दें, तो आपको फिर से एक वर्ग संख्या प्राप्त होगी।
• 7 से विभाज्य एक संख्या निर्धारित करें, लेकिन इस शर्त पर कि इसे 2, 3, 4, 5 या 6 से विभाजित करने पर 1 शेष बचे।

ऐसे कार्य न केवल दिमाग को विकसित करने का एक उत्कृष्ट तरीका होंगे, बल्कि एक मनोरंजक शगल भी होंगे। आप इंटरनेट पर जानकारी खोजकर यह भी पता लगा सकते हैं कि इन समस्याओं का समाधान कैसे किया जाता है। हम उन पर ध्यान केंद्रित नहीं करेंगे, लेकिन अपनी कहानी जारी रखेंगे।

पुनरावर्तन और स्वर्णिम अनुपात क्या हैं?

प्रत्यावर्तन

रिकर्सन किसी वस्तु या प्रक्रिया का विवरण, परिभाषा या छवि है, जिसमें दी गई वस्तु या प्रक्रिया स्वयं शामिल होती है। दूसरे शब्दों में किसी वस्तु या प्रक्रिया को उसका ही एक भाग कहा जा सकता है।

रिकर्सन का उपयोग न केवल गणितीय विज्ञान में, बल्कि कंप्यूटर विज्ञान, लोकप्रिय संस्कृति और कला में भी व्यापक रूप से किया जाता है। फाइबोनैचि संख्याओं पर लागू, हम कह सकते हैं कि यदि संख्या "n>2" है, तो "n" = (n-1)+(n-2)।

सुनहरा अनुपात

स्वर्णिम अनुपात संपूर्ण का उन हिस्सों में विभाजन है जो सिद्धांत के अनुसार संबंधित हैं: बड़ा छोटे से उसी तरह संबंधित है जैसे कुल मूल्य बड़े हिस्से से संबंधित है।

सुनहरे अनुपात का उल्लेख पहली बार यूक्लिड (ग्रंथ "एलिमेंट्स," लगभग 300 ईसा पूर्व) द्वारा किया गया था, जो एक नियमित आयत के निर्माण के बारे में बात कर रहा था। हालाँकि, एक अधिक परिचित अवधारणा जर्मन गणितज्ञ मार्टिन ओम द्वारा प्रस्तुत की गई थी।

लगभग, सुनहरे अनुपात को दो अलग-अलग भागों में आनुपातिक विभाजन के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 38% और 68%। स्वर्णिम अनुपात की संख्यात्मक अभिव्यक्ति लगभग 1.6180339887 है।

व्यवहार में, सुनहरे अनुपात का उपयोग वास्तुकला, ललित कला (कार्यों को देखें), सिनेमा और अन्य क्षेत्रों में किया जाता है। लंबे समय तक, जैसा कि अब है, सुनहरे अनुपात को एक सौंदर्यवादी अनुपात माना जाता था, हालांकि अधिकांश लोग इसे अनुपातहीन - बढ़ा हुआ मानते हैं।

आप निम्नलिखित अनुपातों द्वारा निर्देशित होकर स्वयं स्वर्णिम अनुपात का अनुमान लगाने का प्रयास कर सकते हैं:

• खंड की लंबाई a = 0.618
• खंड b की लंबाई = 0.382
• खंड की लंबाई c = 1
• c और a का अनुपात = 1.618
• c और b का अनुपात = 2.618

आइए अब फाइबोनैचि संख्याओं पर सुनहरा अनुपात लागू करें: हम इसके अनुक्रम के दो आसन्न पद लेते हैं और बड़े को छोटे से विभाजित करते हैं। हमें लगभग 1.618 मिलता है। यदि हम वही बड़ी संख्या लें और उसे उसके बाद अगली बड़ी संख्या से विभाजित करें, तो हमें लगभग 0.618 प्राप्त होता है। इसे स्वयं आज़माएँ: 21 और 34 या कुछ अन्य संख्याओं के साथ "खेलें"। यदि हम इस प्रयोग को फाइबोनैचि अनुक्रम की पहली संख्याओं के साथ करते हैं, तो ऐसा परिणाम मौजूद नहीं रहेगा, क्योंकि अनुक्रम की शुरुआत में सुनहरा अनुपात "काम नहीं करता"। वैसे, सभी फाइबोनैचि संख्याओं को निर्धारित करने के लिए, आपको केवल पहले तीन लगातार संख्याओं को जानने की आवश्यकता है।

और अंत में, विचार के लिए कुछ और सामग्री।

स्वर्ण आयत और फाइबोनैचि सर्पिल

"गोल्डन रेक्टेंगल" सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं के बीच एक और संबंध है, क्योंकि... इसका पक्षानुपात 1.618 से 1 है (संख्या 1.618 याद रखें!)।

यहां एक उदाहरण है: हम फाइबोनैचि अनुक्रम से दो संख्याएं लेते हैं, उदाहरण के लिए 8 और 13, और 8 सेमी की चौड़ाई और 13 सेमी की लंबाई के साथ एक आयत बनाते हैं। इसके बाद, हम मुख्य आयत को छोटे में विभाजित करते हैं, लेकिन उनके लंबाई और चौड़ाई फाइबोनैचि संख्याओं के अनुरूप होनी चाहिए - बड़े आयत के एक किनारे की लंबाई छोटे आयत के किनारे की दो लंबाई के बराबर होनी चाहिए।

इसके बाद, हम अपने पास मौजूद सभी आयतों के कोनों को एक चिकनी रेखा से जोड़ते हैं और लघुगणकीय सर्पिल का एक विशेष मामला प्राप्त करते हैं - फाइबोनैचि सर्पिल। इसका मुख्य गुण सीमाओं का अभाव और आकार में परिवर्तन हैं। ऐसा सर्पिल अक्सर प्रकृति में पाया जा सकता है: सबसे हड़ताली उदाहरण मोलस्क के गोले, उपग्रह छवियों में चक्रवात और यहां तक ​​​​कि कई आकाशगंगाएं हैं। लेकिन अधिक दिलचस्प बात यह है कि जीवित जीवों का डीएनए भी इसी नियम का पालन करता है, क्योंकि क्या आपको याद है कि इसका आकार सर्पिल होता है?

ये और कई अन्य "यादृच्छिक" संयोग आज भी वैज्ञानिकों की चेतना को उत्तेजित करते हैं और सुझाव देते हैं कि ब्रह्मांड में सब कुछ एक एकल एल्गोरिदम, इसके अलावा, एक गणितीय के अधीन है। और यह विज्ञान बड़ी संख्या में पूरी तरह से उबाऊ रहस्यों और रहस्यों को छुपाता है।

क्या आपने कभी सुना है कि गणित को "सभी विज्ञानों की रानी" कहा जाता है? क्या आप इस कथन से सहमत हैं? जब तक गणित आपके लिए पाठ्यपुस्तक में उबाऊ समस्याओं का एक सेट बना रहेगा, तब तक आप इस विज्ञान की सुंदरता, बहुमुखी प्रतिभा और यहां तक ​​कि हास्य का अनुभव शायद ही कर पाएंगे।

लेकिन गणित में ऐसे विषय हैं जो हमारे लिए सामान्य चीजों और घटनाओं के बारे में दिलचस्प अवलोकन करने में मदद करते हैं। और यहां तक ​​कि हमारे ब्रह्मांड की रचना के रहस्य के पर्दे को भेदने का भी प्रयास करें। दुनिया में ऐसे दिलचस्प पैटर्न हैं जिनका वर्णन गणित का उपयोग करके किया जा सकता है।

फाइबोनैचि संख्याओं का परिचय

फाइबोनैचि संख्याएँकिसी संख्या अनुक्रम के तत्वों के नाम बताइए। इसमें किसी श्रृंखला की प्रत्येक अगली संख्या पिछली दो संख्याओं के योग से प्राप्त की जाती है।

उदाहरण अनुक्रम: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...

आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:

एफ 0 = 0, एफ 1 = 1, एफ एन = एफ एन-1 + एफ एन-2, एन ≥ 2

आप नकारात्मक मानों के साथ फाइबोनैचि संख्याओं की एक श्रृंखला शुरू कर सकते हैं एन. इसके अलावा, इस मामले में अनुक्रम दो-तरफा है (अर्थात, यह नकारात्मक और सकारात्मक संख्याओं को कवर करता है) और दोनों दिशाओं में अनंत की ओर जाता है।

ऐसे अनुक्रम का एक उदाहरण: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

इस मामले में सूत्र इस तरह दिखता है:

एफ एन = एफ एन+1 - एफ एन+2या फिर आप यह कर सकते हैं: एफ -एन = (-1) एन+1 एफएन.

जिसे अब हम "फाइबोनैचि संख्या" के रूप में जानते हैं, वह यूरोप में उपयोग शुरू होने से बहुत पहले प्राचीन भारतीय गणितज्ञों को ज्ञात था। और यह नाम आम तौर पर एक सतत ऐतिहासिक किस्सा है। आइए इस तथ्य से शुरू करें कि फाइबोनैचि ने स्वयं को अपने जीवनकाल के दौरान कभी भी फाइबोनैचि नहीं कहा - यह नाम पीसा के लियोनार्डो पर उनकी मृत्यु के कई शताब्दियों बाद ही लागू किया जाने लगा। लेकिन आइए हर चीज़ के बारे में क्रम से बात करें।

पीसा के लियोनार्डो, उर्फ ​​फाइबोनैचि

एक व्यापारी का बेटा जो गणितज्ञ बन गया, और बाद में मध्य युग के दौरान यूरोप के पहले प्रमुख गणितज्ञ के रूप में भावी पीढ़ियों से मान्यता प्राप्त की। कम से कम फाइबोनैचि संख्याओं के लिए धन्यवाद (जिन्हें, हमें याद रखना चाहिए, अभी तक ऐसा नहीं कहा जाता था)। जिसका वर्णन उन्होंने 13वीं सदी की शुरुआत में अपने काम "लिबर अबासी" ("बुक ऑफ अबेकस", 1202) में किया था।

मैंने अपने पिता के साथ पूर्व की यात्रा की, लियोनार्डो ने अरब शिक्षकों के साथ गणित का अध्ययन किया (और उन दिनों वे इस मामले में और कई अन्य विज्ञानों में सर्वश्रेष्ठ विशेषज्ञों में से थे)। उन्होंने पुरातन और प्राचीन भारत के गणितज्ञों के कार्यों को अरबी अनुवाद में पढ़ा।

उन्होंने जो कुछ भी पढ़ा था उसे पूरी तरह से समझने और अपने जिज्ञासु दिमाग का उपयोग करने के बाद, फिबोनाची ने गणित पर कई वैज्ञानिक ग्रंथ लिखे, जिनमें उपर्युक्त "अबेकस की पुस्तक" भी शामिल है। इसके अतिरिक्त मैंने बनाया:

• "प्रैक्टिका ज्योमेट्री" ("प्रैक्टिस ऑफ़ ज्योमेट्री", 1220);
• "फ्लोस" ("फूल", 1225 - घन समीकरणों पर एक अध्ययन);
• "लिबर क्वाड्रेटरम" ("वर्गों की पुस्तक", 1225 - अनिश्चित द्विघात समीकरणों पर समस्याएं)।

वह गणितीय प्रतियोगिताओं के बहुत बड़े प्रशंसक थे, इसलिए अपने ग्रंथों में उन्होंने विभिन्न गणितीय समस्याओं के विश्लेषण पर बहुत ध्यान दिया।

लियोनार्डो के जीवन के बारे में बहुत कम जीवनी संबंधी जानकारी बची है। जहाँ तक फाइबोनैचि नाम का सवाल है, जिसके तहत उन्होंने गणित के इतिहास में प्रवेश किया, यह उन्हें केवल 19वीं शताब्दी में सौंपा गया था।

फाइबोनैचि और उसकी समस्याएं

फाइबोनैचि के बाद बड़ी संख्या में समस्याएं बनी रहीं जो बाद की शताब्दियों में गणितज्ञों के बीच बहुत लोकप्रिय रहीं। हम खरगोश की समस्या को देखेंगे, जिसे फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके हल किया गया है।

खरगोश न केवल मूल्यवान फर हैं

फाइबोनैचि ने निम्नलिखित स्थितियाँ निर्धारित की हैं: ऐसी दिलचस्प नस्ल के नवजात खरगोशों (नर और मादा) की एक जोड़ी है कि वे नियमित रूप से (दूसरे महीने से शुरू करके) संतान पैदा करते हैं - हमेशा खरगोशों की एक नई जोड़ी। इसके अलावा, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, एक नर और एक मादा।

इन सशर्त खरगोशों को एक सीमित स्थान में रखा जाता है और उत्साह के साथ प्रजनन किया जाता है। यह भी निर्धारित है कि एक भी खरगोश किसी रहस्यमय खरगोश रोग से नहीं मरेगा।

हमें यह गणना करने की आवश्यकता है कि हमें एक वर्ष में कितने खरगोश मिलेंगे।

• 1 महीने की शुरुआत में हमारे पास खरगोशों का 1 जोड़ा होता है। महीने के अंत में वे संभोग करते हैं।
• दूसरा महीना - हमारे पास पहले से ही 2 जोड़े खरगोश हैं (एक जोड़े के माता-पिता हैं + 1 जोड़ा उनकी संतान है)।
• तीसरा महीना: पहला जोड़ा एक नए जोड़े को जन्म देता है, दूसरा जोड़ा संभोग करता है। कुल - 3 जोड़े खरगोश।
• चौथा महीना: पहला जोड़ा एक नए जोड़े को जन्म देता है, दूसरा जोड़ा समय बर्बाद नहीं करता है और एक नए जोड़े को भी जन्म देता है, तीसरा जोड़ा अभी भी केवल संभोग कर रहा है। कुल - खरगोशों के 5 जोड़े।

खरगोशों की संख्या एनवां महीना = पिछले महीने के खरगोशों के जोड़े की संख्या + नवजात जोड़े की संख्या (खरगोशों के जोड़े की संख्या उतनी ही है जितनी अब से 2 महीने पहले खरगोशों के जोड़े थे)। और यह सब उस सूत्र द्वारा वर्णित है जो हम पहले ही ऊपर दे चुके हैं: एफएन = एफएन-1 + एफएन-2.

इस प्रकार, हम एक आवर्ती (स्पष्टीकरण के बारे में) प्राप्त करते हैं प्रत्यावर्तन- नीचे) संख्या क्रम। जिसमें प्रत्येक अगली संख्या पिछली दो के योग के बराबर है:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

आप इस क्रम को लंबे समय तक जारी रख सकते हैं: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. लेकिन चूंकि हमने एक विशिष्ट अवधि निर्धारित की है - एक वर्ष, हम 12वीं "चाल" पर प्राप्त परिणाम में रुचि रखते हैं। वे। अनुक्रम का 13वां सदस्य: 377.

समस्या का उत्तर: यदि बताई गई सभी शर्तें पूरी होती हैं तो 377 खरगोश प्राप्त किए जाएंगे।

फाइबोनैचि संख्या अनुक्रम का एक गुण बहुत दिलचस्प है। यदि आप किसी श्रृंखला से लगातार दो जोड़े लेते हैं और बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करते हैं, तो परिणाम धीरे-धीरे सामने आएगा सुनहरा अनुपात(आप इसके बारे में लेख में बाद में अधिक पढ़ सकते हैं)।

गणितीय शब्दों में, "रिश्तों की सीमा ए एन+1को एकस्वर्णिम अनुपात के बराबर".

अधिक संख्या सिद्धांत समस्याएं

1. एक ऐसी संख्या खोजें जिसे 7 से विभाजित किया जा सके। साथ ही, यदि आप इसे 2, 3, 4, 5, 6 से विभाजित करते हैं, तो शेषफल एक होगा।
2. वर्ग संख्या ज्ञात कीजिये. इसके बारे में यह ज्ञात है कि यदि आप इसमें 5 जोड़ते हैं या 5 घटाते हैं, तो आपको फिर से एक वर्ग संख्या प्राप्त होती है।

हमारा सुझाव है कि आप इन समस्याओं के उत्तर स्वयं खोजें। आप इस लेख की टिप्पणियों में हमें अपने विकल्प छोड़ सकते हैं। और फिर हम आपको बताएंगे कि क्या आपकी गणना सही थी।

प्रत्यावर्तन की व्याख्या

प्रत्यावर्तन- किसी वस्तु या प्रक्रिया की परिभाषा, विवरण, छवि जिसमें यह वस्तु या प्रक्रिया स्वयं शामिल हो। अर्थात, संक्षेप में, कोई वस्तु या प्रक्रिया स्वयं का एक हिस्सा है।

गणित और कंप्यूटर विज्ञान और यहां तक ​​कि कला और लोकप्रिय संस्कृति में भी रिकर्सन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

फाइबोनैचि संख्याएँ पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करके निर्धारित की जाती हैं। संख्या के लिए n>2 n-ई संख्या बराबर है (एन - 1) + (एन - 2).

स्वर्णिम अनुपात की व्याख्या

सुनहरा अनुपात- संपूर्ण (उदाहरण के लिए, एक खंड) को ऐसे भागों में विभाजित करना जो निम्नलिखित सिद्धांत के अनुसार संबंधित हैं: बड़ा भाग छोटे से उसी प्रकार संबंधित होता है जैसे संपूर्ण मान (उदाहरण के लिए, दो खंडों का योग) होता है बड़े हिस्से को.

स्वर्णिम अनुपात का पहला उल्लेख यूक्लिड के ग्रंथ "एलिमेंट्स" (लगभग 300 ईसा पूर्व) में मिलता है। एक नियमित आयत के निर्माण के संदर्भ में।

हमारे लिए परिचित यह शब्द 1835 में जर्मन गणितज्ञ मार्टिन ओम द्वारा प्रचलन में लाया गया था।

यदि हम स्वर्णिम अनुपात का लगभग वर्णन करें, तो यह दो असमान भागों में आनुपातिक विभाजन का प्रतिनिधित्व करता है: लगभग 62% और 38%। संख्यात्मक दृष्टि से स्वर्णिम अनुपात वह संख्या है 1,6180339887 .

सुनहरा अनुपात ललित कला (लियोनार्डो दा विंची और अन्य पुनर्जागरण चित्रकारों द्वारा पेंटिंग), वास्तुकला, सिनेमा (एस. एसेनस्टीन द्वारा "बैटलशिप पोटेमकिन") और अन्य क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोग पाता है। लंबे समय से यह माना जाता था कि स्वर्णिम अनुपात सबसे सौंदर्यपूर्ण अनुपात है। यह राय आज भी लोकप्रिय है. हालाँकि, शोध के परिणामों के अनुसार, दृष्टिगत रूप से अधिकांश लोग इस अनुपात को सबसे सफल विकल्प नहीं मानते हैं और इसे बहुत लम्बा (अनुपातहीन) मानते हैं।

• अनुभाग की लंबाई साथ = 1, ए = 0,618, बी = 0,382.
• नज़रिया साथको ए = 1, 618.
• नज़रिया साथको बी = 2,618

आइए अब फाइबोनैचि संख्याओं पर वापस आते हैं। आइए इसके क्रम से लगातार दो पद लें। बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करें और लगभग 1.618 प्राप्त करें। और अब हम उसी बड़ी संख्या और श्रृंखला के अगले सदस्य (यानी, उससे भी बड़ी संख्या) का उपयोग करते हैं - उनका अनुपात प्रारंभिक 0.618 है।

यहाँ एक उदाहरण है: 144, 233, 377।

233/144 = 1.618 और 233/377 = 0.618

वैसे, यदि आप अनुक्रम की शुरुआत से संख्याओं के साथ एक ही प्रयोग करने का प्रयास करते हैं (उदाहरण के लिए, 2, 3, 5), तो कुछ भी काम नहीं करेगा। लगभग। अनुक्रम की शुरुआत के लिए सुनहरे अनुपात नियम का शायद ही पालन किया जाता है। लेकिन जैसे-जैसे आप श्रृंखला में आगे बढ़ते हैं और संख्याएँ बढ़ती हैं, यह बढ़िया काम करता है।

और फाइबोनैचि संख्याओं की पूरी श्रृंखला की गणना करने के लिए, अनुक्रम के तीन शब्दों को एक के बाद एक जानना पर्याप्त है। आप इसे स्वयं देख सकते हैं!

स्वर्ण आयत और फाइबोनैचि सर्पिल

फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के बीच एक और दिलचस्प समानता तथाकथित "सुनहरा आयत" है: इसकी भुजाएँ 1.618 से 1 के अनुपात में हैं। लेकिन हम पहले से ही जानते हैं कि संख्या 1.618 क्या है, है ना?

उदाहरण के लिए, आइए फाइबोनैचि श्रृंखला के दो लगातार पद - 8 और 13 - लें और निम्नलिखित मापदंडों के साथ एक आयत बनाएं: चौड़ाई = 8, लंबाई = 13।

और फिर हम बड़े आयत को छोटे आयतों में विभाजित करेंगे। अनिवार्य शर्त: आयतों की भुजाओं की लंबाई फाइबोनैचि संख्याओं के अनुरूप होनी चाहिए। वे। बड़े आयत की भुजा की लंबाई दो छोटे आयतों की भुजाओं के योग के बराबर होनी चाहिए।

जिस तरह से यह इस चित्र में किया गया है (सुविधा के लिए, आंकड़े लैटिन अक्षरों में हस्ताक्षरित हैं)।

वैसे, आप आयतों को उल्टे क्रम में बना सकते हैं। वे। 1 की भुजा वाले वर्गों के साथ निर्माण शुरू करें। ऊपर बताए गए सिद्धांत द्वारा निर्देशित, फाइबोनैचि संख्याओं के बराबर भुजाओं वाली आकृतियाँ पूरी की जाती हैं। सैद्धांतिक रूप से, इसे अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है - आखिरकार, फाइबोनैचि श्रृंखला औपचारिक रूप से अनंत है।

यदि हम चित्र में प्राप्त आयतों के कोनों को एक चिकनी रेखा से जोड़ते हैं, तो हमें एक लघुगणकीय सर्पिल प्राप्त होता है। या यों कहें, इसका विशेष मामला फाइबोनैचि सर्पिल है। इसकी विशेषता, विशेष रूप से, इस तथ्य से है कि इसकी कोई सीमा नहीं है और यह आकार नहीं बदलता है।

एक समान सर्पिल अक्सर प्रकृति में पाया जाता है। क्लैम शैल सबसे आकर्षक उदाहरणों में से एक हैं। इसके अलावा, कुछ आकाशगंगाएँ जिन्हें पृथ्वी से देखा जा सकता है उनका आकार सर्पिल है। यदि आप टीवी पर मौसम के पूर्वानुमानों पर ध्यान देते हैं, तो आपने देखा होगा कि उपग्रहों से ली गई तस्वीरों में चक्रवातों का आकार एक समान सर्पिल होता है।

यह उत्सुक है कि डीएनए हेलिक्स भी सुनहरे खंड के नियम का पालन करता है - इसके मोड़ के अंतराल में संबंधित पैटर्न देखा जा सकता है।

इस तरह के अद्भुत "संयोग" दिमाग को उत्तेजित नहीं कर सकते हैं और कुछ एकल एल्गोरिदम के बारे में बात करने का मौका देते हैं, जिसका ब्रह्मांड के जीवन में सभी घटनाएं पालन करती हैं। अब क्या आप समझ गए कि इस लेख को ऐसा क्यों कहा जाता है? और गणित आपके लिए किस तरह की अद्भुत दुनिया खोल सकता है?

प्रकृति में फाइबोनैचि संख्याएँ

फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के बीच संबंध दिलचस्प पैटर्न का सुझाव देता है। इतनी उत्सुकता कि प्रकृति में और यहां तक ​​कि ऐतिहासिक घटनाओं के दौरान भी फाइबोनैचि संख्याओं के समान अनुक्रम खोजने का प्रयास करना आकर्षक है। और प्रकृति वास्तव में ऐसी धारणाओं को जन्म देती है। लेकिन क्या हमारे जीवन की हर चीज़ को गणित का उपयोग करके समझाया और वर्णित किया जा सकता है?

जीवित चीजों के उदाहरण जिन्हें फाइबोनैचि अनुक्रम का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है:

• पौधों में पत्तियों (और शाखाओं) की व्यवस्था - उनके बीच की दूरियाँ फाइबोनैचि संख्या (फाइलोटैक्सिस) से संबंधित होती हैं;

• सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था (बीजों को अलग-अलग दिशाओं में मुड़े हुए सर्पिलों की दो पंक्तियों में व्यवस्थित किया जाता है: एक पंक्ति दक्षिणावर्त, दूसरी वामावर्त);

• पाइन शंकु तराजू की व्यवस्था;
• फूलों की पंखुड़ियों;
• अनानास कोशिकाएं;
• मानव हाथ पर उंगलियों के फालेंजों की लंबाई का अनुपात (लगभग), आदि।

कॉम्बिनेटरिक्स समस्याएं

कॉम्बिनेटरिक्स समस्याओं को हल करने में फाइबोनैचि संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

साहचर्यगणित की एक शाखा है जो निर्दिष्ट सेट, गणना आदि से तत्वों की एक निश्चित संख्या के चयन का अध्ययन करती है।

आइए हाई स्कूल स्तर के लिए डिज़ाइन की गई कॉम्बिनेटरिक्स समस्याओं के उदाहरण देखें (स्रोत - http://www.problems.ru/)।

कार्य 1:

लेशा 10 सीढ़ियाँ चढ़ती है। एक समय में वह या तो एक कदम या दो कदम ऊपर कूदता है। लेसा कितने तरीकों से सीढ़ियाँ चढ़ सकती है?

लेसा कितने तरीकों से सीढ़ियाँ चढ़ सकती है एनचरण, आइए निरूपित करें और n।यह इस प्रकार है कि एक 1 = 1, एक 2= 2 (आखिरकार, लेशा एक या दो कदम कूदती है)।

इस बात पर भी सहमति है कि लेशा सीढ़ियों से ऊपर कूदती है n> 2 कदम। मान लीजिए कि उसने पहली बार दो कदम छलांग लगाई। इसका मतलब है, समस्या की स्थितियों के अनुसार, उसे एक और छलांग लगाने की जरूरत है एन - 2कदम। फिर चढ़ाई पूरी करने के तरीकों की संख्या इस प्रकार बताई गई है एक एन-2. और अगर हम मान लें कि पहली बार लेशा ने केवल एक कदम छलांग लगाई, तो हम चढ़ाई पूरी करने के तरीकों की संख्या का वर्णन इस प्रकार करते हैं ए एन–1.

यहाँ से हमें निम्नलिखित समानता प्राप्त होती है: a n = a n–1 + a n–2(परिचित लगता है, है ना?)।

चूँकि हम जानते हैं एक 1और एक 2और याद रखें कि समस्या की स्थितियों के अनुसार 10 चरण हैं, क्रम से सभी की गणना करें और n: एक 3 = 3, एक 4 = 5, एक 5 = 8, एक 6 = 13, एक 7 = 21, एक 8 = 34, एक 9 = 55, एक 10 = 89.

उत्तर: 89 तरीके.

कार्य #2:

आपको 10 अक्षर लंबे शब्दों की संख्या ज्ञात करनी होगी जिसमें केवल "ए" और "बी" अक्षर शामिल हों और एक पंक्ति में दो अक्षर "बी" न हों।

आइए निरूपित करें एकशब्दों की लंबाई की संख्या एनवे अक्षर जिनमें केवल "ए" और "बी" अक्षर शामिल हैं और एक पंक्ति में दो अक्षर "बी" नहीं हैं। मतलब, एक 1= 2, एक 2= 3.

अनुक्रम में एक 1, एक 2, <…>, एकहम इसके प्रत्येक अगले सदस्य को पिछले सदस्यों के माध्यम से व्यक्त करेंगे। अत: लंबाई के शब्दों की संख्या है एनवे अक्षर जिनमें दोहरा अक्षर "बी" नहीं है और वे "ए" अक्षर से शुरू होते हैं ए एन–1. और यदि शब्द लम्बा है एनअक्षर "बी" अक्षर से शुरू होते हैं, यह तर्कसंगत है कि ऐसे शब्द में अगला अक्षर "ए" है (आखिरकार, समस्या की शर्तों के अनुसार दो "बी" नहीं हो सकते हैं)। अत: लंबाई के शब्दों की संख्या है एनइस मामले में हम अक्षरों को इस प्रकार निरूपित करते हैं एक एन-2. पहले और दूसरे दोनों मामलों में, कोई भी शब्द (लंबाई) एन - 1और एन - 2अक्षर क्रमशः) डबल "बी" के बिना।

हम इसका औचित्य सिद्ध करने में सक्षम थे a n = a n–1 + a n–2.

आइए अब गणना करें एक 3= एक 2+ एक 1= 3 + 2 = 5, एक 4= एक 3+ एक 2= 5 + 3 = 8, <…>, एक 10= एक 9+ एक 8= 144. और हमें परिचित फाइबोनैचि अनुक्रम मिलता है।

उत्तर: 144.

कार्य #3:

कल्पना कीजिए कि एक टेप कोशिकाओं में विभाजित है। यह दाईं ओर जाता है और अनिश्चित काल तक रहता है। टेप के पहले वर्ग पर एक टिड्डा रखें। वह टेप के किसी भी सेल पर हो, वह केवल दाईं ओर जा सकता है: या तो एक सेल, या दो। ऐसे कितने तरीके हैं जिनसे एक टिड्डा टेप की शुरुआत से छलांग लगा सकता है? एन-वें कोशिकाएं?

आइए हम बेल्ट के साथ टिड्डे को स्थानांतरित करने के तरीकों की संख्या बताएं एन-वें कोशिकाएं पसंद करती हैं एक. इस मामले में एक 1 = एक 2= 1. में भी एन+1टिड्डा -th कोशिका में से किसी एक में प्रवेश कर सकता है एन-वें सेल, या उसके ऊपर से कूदकर। यहाँ से ए एन + 1 = ए एन - 1 + एक. कहाँ एक = एफएन - 1.

उत्तर: एफएन - 1.

आप स्वयं ऐसी ही समस्याएँ बना सकते हैं और अपने सहपाठियों के साथ गणित के पाठों में उन्हें हल करने का प्रयास कर सकते हैं।

लोकप्रिय संस्कृति में फाइबोनैचि संख्याएँ

बेशक, फाइबोनैचि संख्या जैसी असामान्य घटना ध्यान आकर्षित करने के अलावा कुछ नहीं कर सकती। इस कड़ाई से सत्यापित पैटर्न में अभी भी कुछ आकर्षक और रहस्यमय भी है। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि विभिन्न शैलियों की आधुनिक लोकप्रिय संस्कृति के कई कार्यों में फाइबोनैचि अनुक्रम किसी तरह "प्रज्ज्वलित" हुआ है।

हम आपको उनमें से कुछ के बारे में बताएंगे। और आप फिर से अपने आप को खोजने की कोशिश करते हैं। यदि आपको यह मिल जाए, तो इसे टिप्पणियों में हमारे साथ साझा करें - हम भी उत्सुक हैं!

• डैन ब्राउन के बेस्टसेलर द दा विंची कोड में फाइबोनैचि संख्याओं का उल्लेख किया गया है: फाइबोनैचि अनुक्रम पुस्तक के मुख्य पात्रों द्वारा तिजोरी खोलने के लिए उपयोग किए जाने वाले कोड के रूप में कार्य करता है।
• 2009 की अमेरिकी फिल्म मिस्टर नोबडी में, एक एपिसोड में एक घर का पता फाइबोनैचि अनुक्रम - 12358 का हिस्सा है। इसके अलावा, एक अन्य एपिसोड में मुख्य पात्र को एक फोन नंबर पर कॉल करना होगा, जो मूल रूप से वही है, लेकिन थोड़ा विकृत है (संख्या 5 के बाद अतिरिक्त अंक) क्रम: 123-581-1321.
• 2012 की श्रृंखला "कनेक्शन" में, मुख्य पात्र, ऑटिज्म से पीड़ित एक लड़का, दुनिया में होने वाली घटनाओं के पैटर्न को समझने में सक्षम है। फाइबोनैचि संख्याओं सहित। और इन घटनाओं को संख्याओं के माध्यम से भी प्रबंधित करें।
• मोबाइल फोन के लिए जावा गेम डूम आरपीजी के डेवलपर्स ने एक स्तर पर एक गुप्त दरवाजा रखा। इसे खोलने वाला कोड फाइबोनैचि अनुक्रम है।
• 2012 में, रूसी रॉक बैंड स्प्लिन ने कॉन्सेप्ट एल्बम "ऑप्टिकल डिसेप्शन" जारी किया। आठवें ट्रैक को "फाइबोनैचि" कहा जाता है। समूह के नेता अलेक्जेंडर वासिलिव के छंद फाइबोनैचि संख्याओं के अनुक्रम पर चलते हैं। लगातार नौ पदों में से प्रत्येक के लिए पंक्तियों की एक समान संख्या होती है (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 ट्रेन चल पड़ी

1 एक जोड़ टूट गया

1 एक आस्तीन कांपने लगी

2 बस, सामान ले लो

बस, सामान ले लो

3 उबलते पानी के लिए अनुरोध

ट्रेन नदी की ओर जाती है

ट्रेन टैगा से होकर गुजरती है<…>.

• जेम्स लिंडन की एक लिमरिक (एक विशिष्ट रूप की एक छोटी कविता - आम तौर पर पांच पंक्तियाँ, एक विशिष्ट कविता योजना के साथ, सामग्री में विनोदी, जिसमें पहली और आखिरी पंक्तियाँ दोहराई जाती हैं या आंशिक रूप से एक दूसरे की नकल करती हैं) फिबोनाची के संदर्भ का भी उपयोग करती हैं एक विनोदी रूपांकन के रूप में अनुक्रम:

फाइबोनैचि की पत्नियों का घना भोजन

ये सिर्फ उनके फायदे के लिए था, और कुछ नहीं.

अफवाह के अनुसार, पत्नियों ने वजन किया,

प्रत्येक पिछले दो की तरह है.

आइए इसे संक्षेप में बताएं

हमें उम्मीद है कि आज हम आपको बहुत सी रोचक और उपयोगी बातें बताने में सफल रहे। उदाहरण के लिए, अब आप अपने आस-पास की प्रकृति में फाइबोनैचि सर्पिल की तलाश कर सकते हैं। शायद आप ही वह व्यक्ति होंगे जो "जीवन, ब्रह्मांड और सामान्य रूप से रहस्य" को जानने में सक्षम होंगे।

कॉम्बिनेटरिक्स समस्याओं को हल करते समय फाइबोनैचि संख्याओं के सूत्र का उपयोग करें। आप इस आलेख में वर्णित उदाहरणों पर भरोसा कर सकते हैं।

वेबसाइट, सामग्री को पूर्ण या आंशिक रूप से कॉपी करते समय, स्रोत के लिंक की आवश्यकता होती है।

हालाँकि, स्वर्णिम अनुपात के साथ इतना ही नहीं किया जा सकता है। यदि हम एक को 0.618 से विभाजित करते हैं, तो हमें 1.618 मिलता है; यदि हम इसका वर्ग करते हैं, तो हमें 2.618 मिलता है; यदि हम इसे घन करते हैं, तो हमें 4.236 मिलता है। ये फाइबोनैचि विस्तार अनुपात हैं। यहां एकमात्र लुप्त संख्या 3,236 है, जिसे जॉन मर्फी द्वारा प्रस्तावित किया गया था।

निरंतरता के बारे में विशेषज्ञ क्या सोचते हैं?

कुछ लोग कह सकते हैं कि ये संख्याएँ पहले से ही परिचित हैं क्योंकि इनका उपयोग तकनीकी विश्लेषण कार्यक्रमों में सुधार और विस्तार की भयावहता निर्धारित करने के लिए किया जाता है। इसके अलावा, यही श्रृंखलाएं एलियट के तरंग सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। वे इसके संख्यात्मक आधार हैं.

हमारे विशेषज्ञ निकोले वोस्तोक निवेश कंपनी में एक सिद्ध पोर्टफोलियो प्रबंधक हैं।

• — निकोले, क्या आपको लगता है कि विभिन्न उपकरणों के चार्ट पर फाइबोनैचि संख्याओं और उसके डेरिवेटिव की उपस्थिति आकस्मिक है? और क्या यह कहना संभव है: "फाइबोनैचि श्रृंखला का व्यावहारिक अनुप्रयोग" होता है?
• — रहस्यवाद के प्रति मेरा दृष्टिकोण ख़राब है। और स्टॉक एक्सचेंज चार्ट पर तो और भी अधिक। हर चीज़ के अपने कारण होते हैं। "फाइबोनैचि लेवल्स" पुस्तक में उन्होंने खूबसूरती से वर्णन किया है कि सुनहरा अनुपात कहां दिखाई देता है, उन्हें आश्चर्य नहीं हुआ कि यह स्टॉक एक्सचेंज उद्धरण चार्ट पर दिखाई देता है। परन्तु सफलता नहीं मिली! उनके द्वारा दिए गए कई उदाहरणों में पाई संख्या बार-बार आती है। लेकिन किसी कारण से इसे मूल्य अनुपात में शामिल नहीं किया गया है।
• - तो क्या आप एलियट के तरंग सिद्धांत की प्रभावशीलता में विश्वास नहीं करते?
• - नहीं, वह बात नहीं है। तरंग सिद्धांत एक बात है. संख्यात्मक अनुपात भिन्न है. और कीमत चार्ट पर उनके दिखने का तीसरा कारण है
• — आपकी राय में, स्टॉक चार्ट पर सुनहरे अनुपात की उपस्थिति के क्या कारण हैं?
• — इस प्रश्न का सही उत्तर आपको अर्थशास्त्र में नोबेल पुरस्कार दिला सकता है। फिलहाल हम सही कारणों के बारे में अंदाजा लगा सकते हैं. वे स्पष्ट रूप से प्रकृति के साथ सामंजस्य नहीं रखते हैं। विनिमय मूल्य निर्धारण के कई मॉडल हैं। वे निर्दिष्ट घटना की व्याख्या नहीं करते हैं। लेकिन किसी घटना की प्रकृति को न समझने से उस घटना को नकारा नहीं जाना चाहिए।
• — और यदि यह कानून कभी खुला तो क्या यह विनिमय प्रक्रिया को नष्ट कर पाएगा?
• - जैसा कि समान तरंग सिद्धांत से पता चलता है, स्टॉक की कीमतों में बदलाव का नियम शुद्ध मनोविज्ञान है। मुझे ऐसा लगता है कि इस कानून का ज्ञान कुछ भी नहीं बदलेगा और स्टॉक एक्सचेंज को नष्ट नहीं कर पाएगा।

वेबमास्टर मैक्सिम के ब्लॉग द्वारा प्रदान की गई सामग्री।

विभिन्न सिद्धांतों में गणित के मूलभूत सिद्धांतों का संयोग अविश्वसनीय लगता है। शायद यह कल्पना है या अंतिम परिणाम के लिए अनुकूलित है। रुको और देखो। जो कुछ पहले असामान्य माना जाता था या संभव नहीं था, उसमें से अधिकांश: उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष अन्वेषण आम हो गया है और किसी को भी आश्चर्य नहीं होता है। साथ ही, तरंग सिद्धांत, जो समझ से परे हो सकता है, समय के साथ और अधिक सुलभ और समझने योग्य हो जाएगा। जो पहले अनावश्यक था, एक अनुभवी विश्लेषक के हाथों में, भविष्य के व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण बन जाएगा।

प्रकृति में फाइबोनैचि संख्याएँ।

देखना

अब, आइए इस बारे में बात करें कि आप इस तथ्य का खंडन कैसे कर सकते हैं कि फाइबोनैचि डिजिटल श्रृंखला प्रकृति में किसी भी पैटर्न में शामिल है।

आइए कोई अन्य दो संख्याएं लें और फाइबोनैचि संख्याओं के समान तर्क के साथ एक अनुक्रम बनाएं। अर्थात्, अनुक्रम का अगला सदस्य पिछले दो के योग के बराबर है। उदाहरण के लिए, आइए दो संख्याएँ लें: 6 और 51। अब हम एक अनुक्रम बनाएंगे जिसे हम दो संख्याओं 1860 और 3009 के साथ पूरा करेंगे। ध्यान दें कि इन संख्याओं को विभाजित करने पर, हमें सुनहरे अनुपात के करीब एक संख्या मिलती है।

इसी समय, अन्य जोड़ियों को विभाजित करने पर जो संख्याएँ प्राप्त होती थीं, वे पहले से आखिरी तक घटती गईं, जिससे हमें यह कहने की अनुमति मिलती है कि यदि यह श्रृंखला अनिश्चित काल तक जारी रहती है, तो हमें सुनहरे अनुपात के बराबर एक संख्या प्राप्त होगी।

इस प्रकार, फाइबोनैचि संख्याएँ किसी भी तरह से विशिष्ट नहीं हैं। संख्याओं के अन्य क्रम हैं, जिनमें से एक अनंत संख्या है, जो उन्हीं संक्रियाओं के परिणामस्वरूप स्वर्णिम संख्या फाई देते हैं।

फाइबोनैचि कोई गूढ़ व्यक्ति नहीं था। वह संख्याओं में कोई रहस्यवाद नहीं डालना चाहता था, वह बस खरगोशों के बारे में एक सामान्य समस्या का समाधान कर रहा था। और उन्होंने अपनी समस्या के अनुसार संख्याओं का एक क्रम लिखा, पहले, दूसरे और अन्य महीनों में, प्रजनन के बाद कितने खरगोश होंगे। एक वर्ष के भीतर ही उन्हें वही क्रम प्राप्त हो गया। और मैंने कोई रिश्ता नहीं बनाया. किसी स्वर्णिम अनुपात या दैवीय संबंध की कोई बात नहीं हुई। यह सब उनके बाद पुनर्जागरण के दौरान आविष्कार किया गया था।

गणित की तुलना में, फाइबोनैचि के फायदे बहुत अधिक हैं। उन्होंने अरबों से संख्या प्रणाली अपनाई और उसकी वैधता सिद्ध की। यह एक कठिन और लंबा संघर्ष था। रोमन संख्या प्रणाली से: गिनती के लिए भारी और असुविधाजनक। फ्रांसीसी क्रांति के बाद यह गायब हो गया। फाइबोनैचि का सुनहरे अनुपात से कोई लेना-देना नहीं है।