Kezdje a tudományban. Fibonacci-sorozat és az aranymetszés alapelvei A Fibonacci-sorozat hatodik száma

Az univerzumban még mindig sok megfejtetlen rejtély van, amelyek közül néhányat a tudósoknak már sikerült azonosítaniuk és leírniuk. A Fibonacci számok és az aranymetszés képezi az alapot a körülöttünk lévő világ feltárásához, annak formájának és optimális vizuális érzékelésének megalkotásához az ember számára, melynek segítségével megérezheti a szépséget és a harmóniát.

aranymetszés

Az aranymetszés dimenzióinak meghatározásának elve az egész világ és részei szerkezetében és funkcióiban való tökéletesedésének hátterében áll, megnyilvánulása a természetben, a művészetben és a technikában egyaránt megmutatkozik. Az aranyarány doktrínája az ókori tudósok által a számok természetével kapcsolatos kutatások eredményeként született meg.

Az ókori filozófus és matematikus, Pythagoras által a szegmensek felosztásának arányainak és arányainak elméletén alapul. Bebizonyította, hogy ha egy szakaszt két részre osztunk: X (kisebb) és Y (nagyobb), a nagyobb és a kisebb aránya megegyezik az összegük (a teljes szakasz) arányával:

Az eredmény egy egyenlet: x 2 - x - 1 = 0, ami úgy van megoldva x=(1±√5)/2.

Ha az arányt 1/x-nek tekintjük, akkor egyenlő 1,618…

Az aranymetszés ókori gondolkodók általi használatának bizonyítékát Eukleidész „Elemek” című könyve adja, amelyet még a 3. században írtak. Kr. e., aki ezt a szabályt alkalmazta szabályos ötszögek megalkotására. A pythagoreusok körében ez az alak szentnek számít, mert szimmetrikus és aszimmetrikus is. A pentagram az életet és az egészséget jelképezi.

Fibonacci számok

1202-ben jelent meg a Pisai Leonardo olasz matematikus, aki később Fibonacci néven vált ismertté a Liber abaci című híres könyve. Ebben a tudós először idézi a számmintát, amelynek sorozatában minden szám a számok összege. 2 előző számjegy. A Fibonacci számsor a következő:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 stb.

A tudós számos mintát is idézett:

• Bármely szám a sorozatból osztva a következővel egyenlő lesz egy olyan értékkel, amely 0,618-ra hajlamos. Ráadásul az első Fibonacci-számok nem adnak ilyen számot, de ahogy haladunk a sorozat elejétől, ez az arány egyre pontosabb lesz.
• Ha elosztja a sorozat számát az előzővel, az eredmény 1,618-ra fog rohanni.
• Egy szám osztva eggyel 0,382-re hajlamos értéket mutat.

Az aranymetszet, a Fibonacci-szám (0,618) kapcsolatának és mintázatainak alkalmazása nemcsak a matematikában, hanem a természettudományban, a történelemben, az építészetben és az építőiparban, valamint számos más tudományban is megtalálható.

Archimedes spirál és arany téglalap

A természetben nagyon elterjedt spirálokat Arkhimédész tanulmányozta, és még az egyenletét is levezette. A spirál alakja az aranymetszés törvényein alapul. Letekercselésekor olyan hosszúságot kapunk, amelyre arányokat és Fibonacci-számokat lehet alkalmazni, a lépés egyenletesen növekszik.

A Fibonacci-számok és az aranymetszés közötti párhuzam látható egy „arany téglalap” megszerkesztésével, amelynek oldalai 1,618:1 arányúak. Úgy épül fel, hogy egy nagyobb téglalapból a kisebbek felé haladunk úgy, hogy az oldalak hossza megegyezzen a sorozatból származó számokkal. Megépíthető fordított sorrendben is, az „1” négyzettől kezdve. Ha ennek a téglalapnak a sarkait metszéspontjuk közepén lévő vonalak kötik össze, Fibonacci vagy logaritmikus spirált kapunk.

Az arany arányok használatának története

Egyiptom számos ókori építészeti emléke arany arányok felhasználásával épült: Kheopsz híres piramisai stb. Az ókori Görögország építészei széles körben használták őket építészeti objektumok, például templomok, amfiteátrumok és stadionok építésénél. Ilyen arányokat használtak például az ókori Parthenon-templom (Athén) és más objektumok építésénél, amelyek az ókori építészet remekeivé váltak, és a matematikai mintákon alapuló harmóniát demonstrálták.

A későbbi évszázadokban az aranymetszés iránti érdeklődés alábbhagyott, a minták feledésbe merültek, de a reneszánszban L. Pacioli di Borgo ferences szerzetes „Isteni arány” című könyvével (1509) újra felbukkant. Leonardo da Vinci illusztrációit tartalmazta, aki létrehozta az új „aranymetszés” nevet. Az aranymetszés 12 tulajdonságát tudományosan is igazolták, és a szerző beszélt arról, hogyan jelenik meg a természetben, a művészetben, és „a világ és a természet építésének elvének” nevezte.

Vitruvius ember Leonardo

A rajz, amellyel Leonardo da Vinci 1492-ben Vitruvius könyvét illusztrálta, egy emberi alakot ábrázol 2 helyzetben, oldalra tárt karokkal. Az ábra körbe és négyzetbe van írva. Ezt a rajzot tekintik az emberi test (férfi) kanonikus arányainak, amelyeket Leonardo ír le Vitruvius római építész értekezései alapján.

A test középpontja, mint a karok és lábak végétől egyenlő távolságra lévő pont a köldök, a karok hossza megegyezik az ember magasságával, a vállak maximális szélessége = a magasság 1/8-a, a távolság a mellkastól a hajig = 1/7, a mellkas tetejétől a fejtetőig = 1/6 stb.

Azóta a rajzot az emberi test belső szimmetriáját bemutató szimbólumként használják.

Leonardo az „arany arány” kifejezést használta az emberi alak arányos viszonyainak megjelölésére. Például a deréktól a lábig mért távolság a köldöktől a fejtetőig azonos távolságra vonatkozik, ugyanúgy, mint a magasság az első hosszhoz (deréktól lefelé). Ez a számítás hasonlóan történik, mint a szegmensek aránya az aranyarány kiszámításakor, és 1,618-ra hajlamos.

Mindezeket a harmonikus arányokat a művészek gyakran használják gyönyörű és lenyűgöző alkotások létrehozására.

Az aranymetszés kutatása a 16–19

Az aranymetszés és a Fibonacci-számok felhasználásával évszázadok óta folynak kutatások az arányok kérdésében. Leonardo da Vincivel párhuzamosan Albrecht Durer német művész is dolgozott az emberi test helyes arányainak elméletének kidolgozásán. Erre a célra még egy speciális iránytűt is készített.

A 16. században A Fibonacci-szám és az aranymetszés kapcsolatának kérdését I. Kepler csillagász munkássága szentelte, aki először alkalmazta ezeket a szabályokat a botanikában.

Új „felfedezés” várt az aranymetszésre a XIX. Zeisig német tudós professzor „Esztétikai vizsgálatának” publikálásával. Ezeket az arányokat abszolútra emelte, és kijelentette, hogy minden természeti jelenségre egyetemesek. Rengeteg embert, pontosabban testarányukat (körülbelül 2 ezer fő) végzett vizsgálatokkal, amelyek eredményei alapján következtetéseket vontak le a különböző testrészek arányainak statisztikailag megerősített mintázataira: a vállak hossza, alkar, kéz, ujjak stb.

A műtárgyakat (vázák, építészeti szerkezetek), a zenei hangokat és a versírás méreteit is tanulmányozták - Zeisig mindezt a szegmensek és a számok hosszában jelenítette meg, és bevezette a „matematikai esztétika” kifejezést is. Az eredmények kézhezvétele után kiderült, hogy a Fibonacci sorozatot kaptuk.

Fibonacci szám és az aranymetszés a természetben

A növény- és állatvilágban megfigyelhető a szimmetria formájában megjelenő morfológia iránya, amely a növekedés és a mozgás irányában figyelhető meg. Szimmetrikus részekre osztás, amelyben arany arányok figyelhetők meg - ez a minta sok növényben és állatban rejlik.

A minket körülvevő természet Fibonacci számokkal írható le, például:

• bármely növény leveleinek vagy ágainak elrendezése, valamint a távolságok megfelelnek az 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 és így tovább megadott számok sorozatának;
• napraforgómag (kúpok pikkelyei, ananászsejtek), két sorban, különböző irányokba csavart spirálok mentén elrendezve;
• a farok hosszának és a gyík teljes testének aránya;
• a tojás alakja, ha vonalat húz a széles részén;
• az ujjak méretének aránya egy személy kezén.

És természetesen a legérdekesebb formák közé tartoznak a spirális csigaházak, a pókhálók mintái, a szél mozgása a hurrikánon belül, a DNS kettős hélixe és a galaxisok szerkezete – ezek mindegyike magában foglalja a Fibonacci-szekvenciát.

Az aranymetszés használata a művészetben

Az aranymetszés művészeti felhasználására példákat kereső kutatók részletesen tanulmányozzák a különböző építészeti tárgyakat, festményeket. Vannak híres szobrászati ​​alkotások, amelyek alkotói ragaszkodtak az arany arányokhoz - Olimpiai Zeusz szobrai, Apollo Belvedere és

Leonardo da Vinci egyik alkotása, a „Mona Lisa portréja” már évek óta a tudósok kutatásának tárgya. Felfedezték, hogy a mű kompozíciója teljes egészében „arany háromszögekből” áll, amelyek egy szabályos ötszög-csillaggá egyesülnek. Da Vinci minden munkája bizonyítja, hogy milyen mély ismeretekkel rendelkezett az emberi test felépítésében és arányaiban, aminek köszönhetően meg tudta ragadni Mona Lisa hihetetlenül titokzatos mosolyát.

Aranymetszés az építészetben

Példaként a tudósok az „aranymetszés” szabályai szerint létrejött építészeti remekműveket vizsgálták: egyiptomi piramisok, Pantheon, Parthenon, Notre Dame de Paris katedrális, Szent Bazil-székesegyház stb.

A Parthenon - az ókori Görögország egyik legszebb épülete (Kr. e. 5. század) - 8 oszlopa és 17 különböző oldala van, magasságának és az oldalak hosszának aránya 0,618. Homlokzatain a kiemelkedések az „aranymetszés” szerint készülnek (az alábbi kép).

Le Corbusier francia építész volt az egyik tudós, aki kitalálta és sikeresen alkalmazta az építészeti objektumok moduláris arányrendszerének (az úgynevezett „modulornak”) továbbfejlesztését. A modulátor egy olyan mérőrendszeren alapul, amely az emberi test részekre való feltételes felosztásához kapcsolódik.

M. Kazakov orosz építész, aki több lakóépületet épített Moszkvában, valamint a Kremlben található Szenátus épületét és a Golicin kórházat (ma N. I. Pirogovról elnevezett 1. Klinika), egyike volt azoknak az építészeknek, akik a törvényeket alkalmazták a tervezés és a tervezés során. konstrukció az aranymetszésről.

Arányok alkalmazása a tervezésben

A ruhatervezésben minden divattervező az emberi test arányait és az aranymetszés szabályait figyelembe véve alkot új képeket és modelleket, bár természeténél fogva nem minden embernek vannak ideális arányai.

A tájtervezés tervezésénél, valamint a növények (fák és cserjék), szökőkutak, építészeti kistárgyak segítségével háromdimenziós parkkompozíciók készítésekor az „isteni arányok” törvényei is alkalmazhatók. Végtére is, a park kompozícióját arra kell összpontosítani, hogy benyomást keltsen a látogatóban, aki szabadon navigálhat rajta és megtalálhatja a kompozíciós központot.

A park minden eleme olyan arányban van, hogy a geometriai szerkezet, a relatív helyzet, a megvilágítás és a fény segítségével a harmónia és a tökéletesség benyomását keltse.

Az aranymetszés alkalmazása a kibernetikában és a technológiában

Az aranymetszet és a Fibonacci-számok törvényei az energiaátmenetekben, a kémiai vegyületeket alkotó elemi részecskékkel végbemenő folyamatokban, az űrrendszerekben és a DNS genetikai szerkezetében is megjelennek.

Hasonló folyamatok fordulnak elő az emberi testben is, amelyek életének bioritmusában, szervek, például az agy vagy a látás működésében nyilvánulnak meg.

Az arany arányú algoritmusokat és mintákat széles körben használják a modern kibernetikában és a számítástechnikában. Az egyik egyszerű feladat, amelyet a kezdő programozók megoldanak, egy képlet felírása és a Fibonacci-számok összegének meghatározása egy bizonyos számig programozási nyelvek segítségével.

Az aranymetszés elméletének modern kutatása

A 20. század közepe óta meredeken megnőtt az érdeklődés az aranyarányok törvényeinek problémái és az emberi életre gyakorolt ​​hatása iránt, és számos különböző szakmát képviselő tudós: matematikusok, etnikai kutatók, biológusok, filozófusok, egészségügyi dolgozók, közgazdászok, zenészek, stb.

Az Egyesült Államokban az 1970-es években kezdett megjelenni a The Fibonacci Quarterly folyóirat, ahol e témában megjelentek a munkák. Olyan művek jelennek meg a sajtóban, amelyekben az aranymetszés általánosított szabályait és a Fibonacci-sorozatot alkalmazzák a különböző tudományterületeken. Például információkódoláshoz, kémiai kutatásokhoz, biológiai kutatásokhoz stb.

Mindez megerősíti az ókori és a modern tudósok azon következtetését, hogy az aranyarány többoldalúan összefügg a tudomány alapvető kérdéseivel, és a minket körülvevő világ számos alkotásának és jelenségének szimmetriájában nyilvánul meg.

Leonardo Fibonacci a középkor egyik legnagyobb matematikusa. Fibonacci egyik művében, a „Számítások könyvében” leírta az indoarab számítási rendszert és használatának előnyeit a római rendszerhez képest.

Meghatározás
A Fibonacci-számok vagy a Fibonacci-sorozat olyan számsorozat, amely számos tulajdonsággal rendelkezik. Például egy sorozat két szomszédos számának összege adja meg a következő értékét (például 1+1=2; 2+3=5 stb.), ami megerősíti az úgynevezett Fibonacci-együtthatók létezését. , azaz állandó arányok.

A Fibonacci-sorozat így kezdődik: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

2.

A Fibonacci-számok teljes meghatározása

3.


A Fibonacci sorozat tulajdonságai

4.

1. Az egyes számok aránya a következőhöz képest a sorozatszám növekedésével egyre inkább 0,618-ra hajlik. Az egyes számok aránya az előzőhöz képest 1,618 (a 0,618 fordítottja). A 0,618-as számot (FI) hívják.

2. Ha minden számot elosztunk a következővel, az egyes utáni szám 0,382; ellenkezőleg – illetve 2,618.

3. Az arányokat így választva megkapjuk a Fibonacci-arányok fő halmazát: ... 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.

5.


A Fibonacci-sorozat és az „aranymetszés” kapcsolata

6.

A Fibonacci-szekvencia aszimptotikusan (egyre lassabban közelítve) hajlamos valamilyen állandó kapcsolatra. Ez az arány azonban irracionális, vagyis olyan számot reprezentál, amelynek a törtrészében végtelen, előre nem látható tizedesjegyek sorozata van. Lehetetlen pontosan kifejezni.

Ha a Fibonacci-sorozat bármely tagját elosztjuk az elődjével (például 13:8), akkor az eredmény egy olyan érték lesz, amely az 1,61803398875 irracionális érték körül ingadozik... és néha meghaladja, néha nem éri el. De még az örökkévalóság elköltése után sem lehet pontosan kideríteni az arányt, egészen az utolsó tizedesjegyig. A rövidség kedvéért 1.618-as formában mutatjuk be. Ezt az arányt már azelőtt elkezdték külön elnevezni, hogy Luca Pacioli (egy középkori matematikus) Isteni aránynak nevezte volna. Modern nevei között szerepel az Aranyarány, az Aranyátlag és a forgó négyzetek aránya. Kepler ezt a kapcsolatot a „geometria egyik kincsének” nevezte. Az algebrában általánosan elfogadott, hogy a görög phi betűvel jelölik

Képzeljük el az aranymetszést egy szakasz példáján.

Tekintsünk egy A és B végű szakaszt. A C pont ossza fel az AB szakaszt úgy, hogy

AC/CB = CB/AB vagy

AB/CB = CB/AC.

Valahogy így képzelheti el: A-–C--–B

7.

Az aranymetszés egy szakasz olyan arányos felosztása egyenlőtlen részekre, amelyben az egész szakasz a nagyobb részhez kapcsolódik, mint ahogy maga a nagyobb rész a kisebbhez; vagy más szavakkal, a kisebb szegmens a nagyobbhoz, mint a nagyobb az egészhez.

8.

Az aranyarány szegmenseit 0,618... végtelen irracionális törtként fejezzük ki, ha AB-t egynek vesszük, AC = 0,382.. Mint már tudjuk, a 0,618 és 0,382 számok a Fibonacci-sorozat együtthatói.

9.

Fibonacci arányok és aranymetszés a természetben és a történelemben

10.


Fontos megjegyezni, hogy Fibonacci emlékeztette az emberiséget a sorozatára. Az ókori görögök és egyiptomiak ismerték. És valóban, azóta a Fibonacci-arányok által leírt minták megtalálhatók a természetben, az építészetben, a képzőművészetben, a matematikában, a fizikában, a csillagászatban, a biológiában és sok más területen. Elképesztő, hogy mennyi állandót lehet kiszámítani a Fibonacci szekvenciával, és hogyan jelennek meg a kifejezései hatalmas számú kombinációban. Nem túlzás azonban azt állítani, hogy ez nem csak játék a számokkal, hanem a természeti jelenségek valaha felfedezett legfontosabb matematikai kifejezése.

11.

Az alábbi példák ennek a matematikai sorozatnak néhány érdekes alkalmazását mutatják be.

12.

1. A mosogató spirálban van csavarva. Ha kihajtja, a kígyó hosszánál valamivel rövidebb hosszt kap. A kicsi, tíz centiméteres kagyló spirálisa 35 cm, a spirálisan felgöndörödött kagyló alakja felkeltette Arkhimédész figyelmét. A helyzet az, hogy a héjfürtök méreteinek aránya állandó, és egyenlő 1,618-val. Arkhimédész a héjak spirálját tanulmányozta, és levezette a spirál egyenletét. Az egyenlet szerint megrajzolt spirált az ő nevén nevezik. Lépésének növekedése mindig egyenletes. Jelenleg az Archimedes-spirált széles körben használják a technológiában.

2. Növények és állatok. Goethe is hangsúlyozta a természet spiralitásra való hajlamát. A levelek spirális és spirális elrendeződését a faágakon már régen észlelték. A spirál napraforgómag, fenyőtoboz, ananász, kaktuszok stb. elrendezésében volt látható. A botanikusok és matematikusok közös munkája rávilágított ezekre a csodálatos természeti jelenségekre. Kiderült, hogy a napraforgómagok és a fenyőtobozok leveleinek elrendezésében a Fibonacci sorozat nyilvánul meg, és ezért az aranymetszés törvénye nyilvánul meg. A pók spirálmintában szövi hálóját. A hurrikán spirálként pörög. Egy ijedt rénszarvascsorda spirálszerűen szétszóródik. A DNS-molekula kettős hélixben van csavarva. Goethe a spirált az „élet görbéjének” nevezte.

Az út menti gyógynövények között nő egy figyelemre méltó növény - a cikória. Nézzük meg közelebbről. A fő szárból hajtás keletkezett. Az első levél ott volt. A hajtás erős kilökődést hajt végre a térbe, megáll, kienged egy levelet, de ezúttal rövidebb, mint az első, ismét kilökődik a térbe, de kisebb erővel, egy még kisebb méretű levelet enged ki és ismét kilökődik . Ha az első kibocsátást 100 egységnek vesszük, akkor a második 62 egység, a harmadik 38, a negyedik 24 stb. A szirmok hossza is az arany aránytól függ. A növekedés és a tér meghódítása során a növény megőrizte bizonyos arányait. Növekedésének impulzusai az aranymetszés arányában fokozatosan csökkentek.

A gyík életképes. Első pillantásra a gyík olyan arányokkal rendelkezik, amelyek kellemesek a szemünk számára - a farka hossza a test többi részének hosszához kapcsolódik, 62-38.

Mind a növényi, mind az állati világban kitartóan áttör a természet formáló hajlama - a növekedési és mozgási irány szimmetriája. Itt az aranymetszés a növekedési irányra merőleges részek arányában jelenik meg. A természet szimmetrikus részekre és arany arányokra osztott. A részek az egész szerkezetének ismétlődését tárják fel.

Pierre Curie a század elején számos mélyreható gondolatot fogalmazott meg a szimmetriával kapcsolatban. Azzal érvelt, hogy egyetlen test szimmetriáját sem lehet figyelembe venni anélkül, hogy ne vesszük figyelembe a környezet szimmetriáját. Az aranyszimmetria törvényei az elemi részecskék energiaátmeneteiben, egyes kémiai vegyületek szerkezetében, bolygó- és kozmikus rendszerekben, élő szervezetek génszerkezetében nyilvánulnak meg. Ezek a minták, amint azt fentebb jeleztük, az egyes emberi szervek és a test egészének szerkezetében léteznek, és megnyilvánulnak az agy bioritmusában és működésében, valamint a vizuális észlelésben.

3. Tér. A csillagászat történetéből ismert, hogy I. Titius, a 18. századi német csillagász e sorozat (Fibonacci) segítségével mintát és rendet talált a Naprendszer bolygói közötti távolságokban.

Egy eset azonban ellentmondani látszott a törvénynek: a Mars és a Jupiter között nem volt bolygó. Az ég ezen részének célzott megfigyelése vezetett az aszteroidaöv felfedezéséhez. Ez Titius halála után történt, a 19. század elején.

A Fibonacci sorozatot széles körben használják: az élőlények, az ember alkotta szerkezetek és a Galaxisok szerkezetének ábrázolására használják. Ezek a tények bizonyítják a számsor függetlenségét a megnyilvánulási feltételeitől, ami egyetemességének egyik jele.

4. Piramisok. Sokan megpróbálták megfejteni a gízai piramis titkait. Más egyiptomi piramisokkal ellentétben ez nem egy sír, hanem számkombinációk megoldhatatlan rejtvénye. Az a figyelemre méltó találékonyság, készség, idő és munka, amelyet a piramis építészei az örök szimbólum megalkotása során alkalmaztak, jelzi annak az üzenetnek a rendkívüli fontosságát, amelyet a jövő nemzedékei felé kívántak közvetíteni. Korszakuk írás nélküli, prehieroglif volt, és a szimbólumok voltak az egyetlen eszköze a felfedezések rögzítésének. A gízai piramis geometriai-matematikai titkának kulcsát, amely oly sokáig rejtély volt az emberiség számára, valójában Hérodotosznak adták át a templomi papok, akik közölték vele, hogy a piramist úgy építették, hogy az ún. mindegyik lapja egyenlő volt a magasságának négyzetével.

Egy háromszög területe

356 x 440/2 = 78320

Négyzet alakú terület

280 x 280 = 78400

A gízai piramis alapja élének hossza 783,3 láb (238,7 m), a piramis magassága 484,4 láb (147,6 m). Az alapél hossza osztva a magassággal Ф=1,618 arányhoz vezet. A 484,4 láb magasság 5813 hüvelyknek (5-8-13) felel meg – ezek a számok a Fibonacci sorozatból. Ezek az érdekes megfigyelések azt sugallják, hogy a piramis tervezése a Ф=1,618 arányon alapul. Egyes modern tudósok hajlamosak azt értelmezni, hogy az ókori egyiptomiak kizárólag abból a célból építették, hogy átadják a tudást, amelyet meg akartak őrizni a jövő generációi számára. A gízai piramis intenzív tanulmányozása megmutatta, milyen kiterjedt volt akkoriban a matematika és az asztrológia ismerete. A piramis minden belső és külső arányában az 1,618-as szám központi szerepet játszik.

Piramisok Mexikóban. Nemcsak az egyiptomi piramisokat építették az aranymetszés tökéletes arányai szerint, ugyanezt a jelenséget a mexikói piramisoknál is megtalálták. Felmerül az ötlet, hogy az egyiptomi és a mexikói piramist is megközelítőleg egy időben emelték közös származású emberek.

Ne veszítsd el. Iratkozzon fel, és e-mailben megkapja a cikk linkjét.

Természetesen ismeri azt a gondolatot, hogy a matematika a legfontosabb tudományok közül. Ezzel azonban sokan nem értenek egyet, mert... néha úgy tűnik, hogy a matematika csak problémák, példák és hasonló unalmas dolgok. A matematika azonban könnyen megmutathat nekünk ismerős dolgokat egy teljesen ismeretlen oldalról. Sőt, még az univerzum titkait is felfedheti. Hogyan? Nézzük a Fibonacci-számokat.

Mik azok a Fibonacci-számok?

A Fibonacci-számok egy numerikus sorozat elemei, ahol minden következő a két előző összegzésével jön létre, például: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... Általában egy ilyen sorozatot a következő képlettel írunk fel: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2.

A Fibonacci-számok kezdődhetnek "n" negatív értékekkel, de ebben az esetben a sorozat kétirányú lesz - pozitív és negatív számokat is lefed, mindkét irányban a végtelenségig. Példa egy ilyen sorozatra: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34, és a képlet a következő lesz: F n = F n+1 - F n+2 vagy F -n = (-1) n+1 Fn.

A Fibonacci-számok megalkotója Európa egyik első középkori matematikusa, Pisai Leonardo, akit valójában Fibonacci néven ismernek – ezt a becenevet sok évvel halála után kapta.

Pisai Leonardo élete során nagyon szerette a matematikai versenyeket, ezért munkáiban ("Liber abaci" / "Abacus könyve", 1202; "Practica geometriae" / "Practice of Geometry", 1220, "Flos") / „Virág”, 1225) - egy tanulmány a köbegyenletekről és a "Liber quadratorum" / "Book of Squares", 1225 - a határozatlan másodfokú egyenletekkel kapcsolatos problémák) nagyon gyakran elemzett mindenféle matematikai problémát.

Fibonacci életútjáról nagyon keveset tudunk. De az biztos, hogy problémái a következő évszázadokban óriási népszerűségnek örvendtek a matematikai körökben. Ezek közül egyet a továbbiakban megvizsgálunk.

Fibonacci probléma nyulakkal

A feladat elvégzéséhez a szerző a következő feltételeket szabta: van egy újszülött nyúlpár (nőstény és hím), amelyet egy érdekes tulajdonság különböztet meg - a második élethónaptól új nyúlpárt hoznak létre - szintén nőstényt, ill. egy férfi. A nyulakat zárt helyen tartják, és folyamatosan szaporodnak. És egyetlen nyúl sem hal meg.

Feladat: határozza meg a nyulak számát egy évben.

Megoldás:

Nekünk van:

• Az első hónap elején egy pár nyúl, amely a hónap végén párosodik
• Két pár nyúl a második hónapban (első pár és utódok)
• Három pár nyúl a harmadik hónapban (az első pár, az előző hónap első párjának utódai és az új utódok)
• Öt pár nyúl a negyedik hónapban (az első pár, az első pár első és második utóda, az első pár harmadik utóda és a második pár első utóda)

Nyulak száma havonta „n” = nyulak száma az elmúlt hónapban + új nyúlpárok száma, más szóval a fenti képlet: F n = F n-1 + F n-2. Ez egy ismétlődő számsorozatot eredményez (a rekurzióról később lesz szó), ahol minden új szám az előző két szám összegének felel meg:

1 hónap: 1 + 1 = 2

2 hónap: 2 + 1 = 3

3 hónap: 3 + 2 = 5

4 hónap: 5 + 3 = 8

5 hónap: 8 + 5 = 13

6 hónap: 13 + 8 = 21

7. hónap: 21 + 13 = 34

8. hónap: 34 + 21 = 55

9 hónap: 55 + 34 = 89

10. hónap: 89 + 55 = 144

11. hónap: 144 + 89 = 233

12 hónap: 233+ 144 = 377

És ez a sorozat a végtelenségig folytatódhat, de tekintettel arra, hogy a feladat egy év után a nyulak számának megállapítása, az eredmény 377 pár.

Itt fontos megjegyezni azt is, hogy a Fibonacci-számok egyik tulajdonsága, hogy ha összehasonlítunk két egymást követő párt, majd a nagyobbat elosztjuk a kisebbel, akkor az eredmény az aranymetszés irányába mozdul el, amiről alább szintén szó lesz. .

Addig is kínálunk még két problémát a Fibonacci-számokkal kapcsolatban:

• Határozzon meg egy négyzetszámot, amelyről csak azt tudjuk, hogy ha kivon belőle 5-öt, vagy hozzáad 5-öt, akkor ismét négyzetszámot kap.
• Határozzon meg egy 7-tel osztható számot, de azzal a feltétellel, hogy ha 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel vagy 6-tal osztja, az 1 maradéka marad.

Az ilyen feladatok nemcsak az elme fejlesztésének kiváló módjai lesznek, hanem szórakoztató időtöltés is. Azt is megtudhatja, hogyan oldják meg ezeket a problémákat, ha információkat keres az interneten. Nem rájuk koncentrálunk, hanem folytatjuk történetünket.

Mi a rekurzió és az aranymetszés?

Rekurzió

A rekurzió bármely objektum vagy folyamat leírása, meghatározása vagy képe, amely magát az adott objektumot vagy folyamatot tartalmazza. Más szavakkal, egy tárgyat vagy folyamatot önmaga részének nevezhetünk.

A rekurziót nemcsak a matematikai tudományokban, hanem a számítástechnikában, a populáris kultúrában és a művészetben is széles körben alkalmazzák. Fibonacci számokra vonatkoztatva azt mondhatjuk, hogy ha a szám „n>2”, akkor „n” = (n-1)+(n-2).

aranymetszés

Az aranymetszés az egész felosztása olyan részekre, amelyek összefüggenek az elv szerint: a nagyobb ugyanúgy viszonyul a kisebbhez, mint az összérték a nagyobb részhez.

Az aranymetszést először Eukleidész említette (az „Elemek” című értekezése, kb. Kr. e. 300), egy szabályos téglalap felépítéséről beszélve. Egy ismertebb fogalmat azonban Martin Ohm német matematikus vezetett be.

Körülbelül az aranymetszés két különböző részre való arányos felosztásként ábrázolható, például 38% és 68%. Az aranymetszés számszerű kifejezése körülbelül 1,6180339887.

A gyakorlatban az aranymetszés az építészetben, a képzőművészetben (nézd meg az alkotásokat), a moziban és más területeken használatos. Sokáig, mint most is, az aranymetszés esztétikai aránynak számított, bár a legtöbben aránytalannak – megnyúltnak – érzékelik.

Megpróbálhatja saját maga megbecsülni az aranymetszetet, a következő arányok alapján:

• Az a szakasz hossza = 0,618
• A b szakasz hossza = 0,382
• A szakasz hossza c = 1
• c és a aránya = 1,618
• c és b aránya = 2,618

Most alkalmazzuk az aranymetszést a Fibonacci-számokra: vegyünk a sorozatának két szomszédos tagját, és a nagyobbat osztjuk a kisebbel. Körülbelül 1,618-at kapunk. Ha ugyanazt a nagyobb számot vesszük, és elosztjuk az utána következő nagyobb számmal, akkor körülbelül 0,618-at kapunk. Próbáld ki te is: „játssz” a 21-es és 34-es számokkal vagy másokkal. Ha ezt a kísérletet a Fibonacci sorozat első számaival hajtjuk végre, akkor ilyen eredmény már nem lesz, mert az aranymetszés "nem működik" a sorozat elején. Egyébként az összes Fibonacci-szám meghatározásához csak az első három egymást követő számot kell ismernie.

És a végére még egy kis elgondolkodtató.

Arany téglalap és Fibonacci spirál

Az „arany téglalap” egy másik kapcsolat az aranymetszés és a Fibonacci-számok között, mert... a képaránya 1,618:1 (emlékezz az 1,618 számra!).

Íme egy példa: a Fibonacci-sorozatból veszünk két számot, például 8-at és 13-at, és rajzolunk egy 8 cm széles és 13 cm hosszú téglalapot. Ezután a fő téglalapot kicsikre osztjuk, de azok a hossznak és a szélességnek meg kell felelnie a Fibonacci-számoknak - a nagy téglalap egyik élének hosszának meg kell egyeznie a kisebb élének két hosszával.

Ezután az összes rendelkezésünkre álló téglalap sarkait sima vonallal összekötjük, és egy speciális logaritmikus spirált kapunk - a Fibonacci spirált. Fő tulajdonságai a határok hiánya és az alakváltozások. Ilyen spirál gyakran megtalálható a természetben: a legszembetűnőbb példák a puhatestű-héjak, a műholdfelvételeken látható ciklonok, sőt számos galaxis. De ami még érdekesebb, hogy az élő szervezetek DNS-e is engedelmeskedik ugyanennek a szabálynak, mert emlékszel arra, hogy spirális alakú?

Ezek és még sok más „véletlenszerű” egybeesés még ma is izgatja a tudósok tudatát, és azt sugallja, hogy az Univerzumban minden egyetlen, ráadásul matematikai algoritmusnak van alávetve. És ez a tudomány rengeteg teljesen unalmas titkot és rejtélyt rejt.

Hallottál már arról, hogy a matematikát „minden tudomány királynőjének” nevezik? Egyetértesz ezzel az állítással? Amíg a matematika unalmas feladatsor marad számodra egy tankönyvben, aligha tapasztalhatod meg ennek a tudománynak a szépségét, sokoldalúságát, sőt humorát.

De vannak olyan témák a matematikában, amelyek segítenek érdekes megfigyeléseket tenni a számunkra megszokott dolgokról és jelenségekről. És még az Univerzumunk létrejöttének rejtélyének fátylát is próbálja meg áthatolni. Vannak érdekes minták a világon, amelyek matematikával leírhatók.

A Fibonacci számok bemutatása

Fibonacci számok nevezd meg egy számsorozat elemeit. Ebben a sorozat minden következő számát a két előző szám összegzésével kapjuk.

Példasorozat: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Így írhatod:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Negatív értékekkel indíthat Fibonacci-számok sorozatát n. Ráadásul a sorozat ebben az esetben kétirányú (vagyis negatív és pozitív számokat takar), és mindkét irányban a végtelenbe hajlik.

Példa egy ilyen sorozatra: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

A képlet ebben az esetben így néz ki:

F n = F n+1 - F n+2 vagy ezt teheted: F -n = (-1) n+1 Fn.

Amit ma „Fibonacci-számoknak” nevezünk, az ókori indiai matematikusok már jóval azelőtt ismerték, hogy Európában elkezdték volna használni. És ez a név általában egy folyamatos történelmi anekdota. Kezdjük azzal a ténnyel, hogy maga Fibonacci életében soha nem nevezte magát Fibonaccinak – ezt a nevet csak néhány évszázaddal halála után kezdték alkalmazni Pisai Leonardora. De beszéljünk mindent sorban.

Pisai Leonardo, más néven Fibonacci

Egy kereskedő fia, akiből matematikus lett, majd az utókor Európa első jelentős matematikusaként ismerték el a középkorban. Nem utolsósorban a Fibonacci-számoknak köszönhetően (amelyeket, emlékezzünk, még nem így hívták). Amelyet a 13. század elején írt le „Liber abaci” („Abakusz könyve”, 1202) című művében.

Apámmal utaztam keletre, Leonardo matematikát tanult arab tanárokkal (és akkoriban a legjobb szakemberek közé tartoztak ebben a kérdésben és sok más tudományban). Az ókor és az ókori India matematikusainak műveit olvasta arab fordításban.

Miután alaposan megértett mindent, amit olvasott, és saját kíváncsi elméjét használta, Fibonacci számos tudományos értekezést írt a matematikáról, köztük a fent említett „Abacus könyvet”. Ezen kívül létrehoztam:

• "Practica geometriae" ("A geometria gyakorlata", 1220);
• "Flos" ("Virág", 1225 - tanulmány a köbös egyenletekről);
• "Liber quadratorum" ("Négyzetek könyve", 1225 - problémák határozatlan másodfokú egyenletekkel).

Nagy rajongója volt a matematikai versenyeknek, ezért értekezéseiben nagy figyelmet fordított a különféle matematikai problémák elemzésére.

Nagyon kevés életrajzi adat maradt meg Leonardo életéről. Ami a Fibonacci nevet illeti, amellyel a matematika történetébe lépett, csak a XIX.

Fibonacci és problémái

Fibonacci után számos probléma maradt, amelyek a következő évszázadokban nagyon népszerűek voltak a matematikusok körében. Megnézzük a nyúlproblémát, amelyet Fibonacci számok segítségével oldanak meg.

A nyulak nemcsak értékes szőrme

Fibonacci a következő feltételeket szabta: van egy pár újszülött nyúl (hím és nőstény) olyan érdekes fajtából, hogy rendszeresen (a második hónaptól kezdve) hoz utódokat - mindig egy pár új nyúlat. Továbbá, ahogy sejtheti, egy hím és egy nőstény.

Ezek a feltételes nyulak zárt térben vannak elhelyezve, és lelkesedéssel szaporodnak. Azt is előírják, hogy egyetlen nyúl sem pusztul el valamilyen rejtélyes nyúlbetegségben.

Ki kell számolnunk, hány nyulat kapunk egy évben.

• 1 hónap elején van 1 pár nyúlunk. A hónap végén párosodnak.
• A második hónap - már van 2 pár nyulak (egy párnak vannak szülei + 1 pár az utóda).
• Harmadik hónap: Az első pár új párt szül, a második pár párosodik. Összesen - 3 pár nyúl.
• Negyedik hónap: Az első pár új párt szül, a második pár nem vesztegeti az időt, és új párat is szül, a harmadik pár még csak párosodik. Összesen - 5 pár nyúl.

A bent lévő nyulak száma n hónap = az előző hónap nyúlpárjainak száma + újszülött párok száma (annyi nyúlpár van, mint 2 hónappal korábban). És mindezt a fent már megadott képlet írja le: F n = F n-1 + F n-2.

Így kapunk egy ismétlődő (magyarázat kb rekurzió– lent) számsor. Ahol minden következő szám egyenlő az előző kettő összegével:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

A sorozatot hosszan folytathatja: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. De mivel meghatározott időszakot - egy évet - határoztunk meg, a 12. „költözésen” kapott eredmény érdekel. Azok. A sorozat 13. tagja: 377.

A válasz a problémára: 377 nyulat kapunk, ha minden feltétel teljesül.

A Fibonacci-számsorozat egyik tulajdonsága nagyon érdekes. Ha egy sorozatból veszünk két egymást követő párt, és a nagyobb számot elosztjuk a kisebb számmal, az eredmény fokozatosan közeledik aranymetszés(erről később a cikkben olvashat).

Matematikai értelemben, "A kapcsolatok határa a n+1 Nak nek a n egyenlő az aranymetszés".

További számelméleti problémák

1. Keress egy számot, amely osztható 7-tel. Ha elosztod 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal, a maradék egy lesz.
2. Keresse meg a négyzetszámot. Ismeretes, hogy ha hozzáadunk 5-öt vagy kivonunk 5-öt, akkor ismét négyzetszámot kapunk.

Javasoljuk, hogy saját maga keressen választ ezekre a problémákra. A cikkhez fűzött megjegyzésekben megadhatja nekünk a lehetőségeit. És akkor megmondjuk, hogy helyesek voltak-e a számításai.

A rekurzió magyarázata

Rekurzió– egy objektum vagy folyamat meghatározása, leírása, képe, amely magát ezt az objektumot vagy folyamatot tartalmazza. Vagyis lényegében egy tárgy vagy folyamat önmaga része.

A rekurziót széles körben használják a matematikában és a számítástechnikában, sőt a művészetben és a populáris kultúrában is.

A Fibonacci-számok meghatározása ismétlődési reláció segítségével történik. Számért n>2 n- e szám egyenlő (n – 1) + (n – 2).

Az aranymetszés magyarázata

aranymetszés- egy egészet (például egy szegmenst) olyan részekre osztunk, amelyek a következő elv szerint kapcsolódnak egymáshoz: a nagyobb rész ugyanúgy kapcsolódik a kisebbhez, mint a teljes érték (például két szegmens összege) nagyobb részéhez.

Az aranymetszés első említése Eukleidésznél található az „Elemek” című értekezésében (kb. ie 300). Szabályos téglalap felépítésének keretében.

A számunkra ismerős kifejezést 1835-ben Martin Ohm német matematikus vezette be a forgalomba.

Ha az aranymetszetet hozzávetőlegesen írjuk le, akkor az arányos felosztást jelent két egyenlőtlen részre: körülbelül 62% és 38%. Számszerű értelemben az aranymetszés a szám 1,6180339887 .

Az aranymetszés gyakorlati alkalmazást talál a képzőművészetben (Leonardo da Vinci és más reneszánsz festők festményei), az építészetben, a moziban (S. Esenstein „Potemkin csatahajója”) és más területeken. Sokáig azt hitték, hogy az aranymetszés a legesztétikusabb arány. Ez a vélemény ma is népszerű. Bár a kutatási eredmények szerint vizuálisan a legtöbben nem ezt az arányt tartják a legsikeresebb lehetőségnek, és túlságosan elnyújtottnak (aránytalannak) tartják.

• Szakasz hossza Val vel = 1, A = 0,618, b = 0,382.
• Hozzáállás Val vel Nak nek A = 1, 618.
• Hozzáállás Val vel Nak nek b = 2,618

Most térjünk vissza a Fibonacci-számokhoz. Vegyünk két egymást követő tagot a sorozatából. Ossza el a nagyobb számot a kisebb számmal, és kap körülbelül 1,618-at. És most ugyanazt a nagyobb számot és a sorozat következő tagját használjuk (azaz még nagyobb számot) - arányuk 0,618 eleji.

Íme egy példa: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 és 233/377 = 0,618

Mellesleg, ha ugyanazt a kísérletet a sorozat elejétől kezdődő számokkal próbálja elvégezni (például 2, 3, 5), semmi sem fog működni. Majdnem. Az aranymetszés szabályát aligha követik a sorozat elején. De ahogy haladsz a sorozaton, és a számok nőnek, ez nagyszerűen működik.

És a Fibonacci-számok teljes sorozatának kiszámításához elegendő ismerni a sorozat három tagját, amelyek egymás után jönnek. Ezt saját szemeddel láthatod!

Arany téglalap és Fibonacci spirál

Egy másik érdekes párhuzam a Fibonacci-számok és az aranymetszés között az úgynevezett „arany téglalap”: oldalai 1,618:1 arányúak. De már tudjuk, mi az 1,618 szám, igaz?

Vegyük például a Fibonacci-sorozat két egymást követő tagját - 8-at és 13-at -, és készítsünk egy téglalapot a következő paraméterekkel: szélesség = 8, hosszúság = 13.

Ezután a nagy téglalapot kisebbekre osztjuk. Kötelező feltétel: a téglalapok oldalhosszának meg kell egyeznie a Fibonacci számokkal. Azok. A nagyobb téglalap oldalhosszának meg kell egyeznie a két kisebb téglalap oldalainak összegével.

Az ábrán látható módon (az egyszerűség kedvéért az ábrák latin betűkkel vannak aláírva).

A téglalapokat egyébként fordított sorrendben is elkészítheti. Azok. kezdje el az építést 1-es oldalú négyzetekkel. Amelyhez a fent leírt elv alapján a Fibonacci-számokkal egyenlő oldalú ábrákat kell kitölteni. Elméletileg ez a végtelenségig folytatható – elvégre a Fibonacci-sorozat formailag végtelen.

Ha az ábrán kapott téglalapok sarkait sima vonallal összekötjük, logaritmikus spirált kapunk. Illetve speciális esete a Fibonacci spirál. Különösen az a tény jellemzi, hogy nincsenek határai, és nem változtatja alakját.

Hasonló spirál gyakran megtalálható a természetben. A kagylóhéj az egyik legszembetűnőbb példa. Sőt, néhány galaxis, amely a Földről látható, spirális alakú. Ha odafigyel a tévében az időjárás-előrejelzésekre, akkor észrevehette, hogy a ciklonok hasonló spirál alakúak, ha műholdakról fényképezik őket.

Érdekes, hogy a DNS-spirál is engedelmeskedik az aranymetszet szabályának - a megfelelő mintázat látható a hajlítások intervallumában.

Az ilyen bámulatos „véletlenek” nem tehetik meg, hogy felizgatják az elméket, és arra adnak okot, hogy valami egyetlen algoritmusról beszéljenek, amelynek az Univerzum életében minden jelenség engedelmeskedik. Most már érted, miért hívják ezt a cikket így? És milyen csodálatos világokat nyithat meg előtted a matematika?

Fibonacci számok a természetben

A Fibonacci-számok és az aranymetszés kapcsolata érdekes mintákat sejtet. Annyira kíváncsi, hogy csábító a Fibonacci-számokhoz hasonló sorozatok keresése a természetben, sőt a történelmi események során is. És a természet valóban okot ad ilyen feltételezésekre. De vajon életünkben mindent meg lehet-e magyarázni és leírni matematikával?

Példák élőlényekre, amelyek leírhatók a Fibonacci-szekvenciával:

• a levelek (és ágak) elrendezése a növényekben - a köztük lévő távolságok korrelálnak a Fibonacci-számokkal (phyllotaxis);

• napraforgómagok elrendezése (a magvak két spirálsorban vannak elrendezve, amelyek különböző irányba csavarodnak: az egyik sor az óramutató járásával megegyező, a másik az óramutató járásával ellentétes irányban);

• fenyőtoboz pikkelyek elrendezése;
• virágszirom;
• ananász sejtek;
• az ujjak falánjai hosszának aránya az emberi kézen (körülbelül) stb.

Kombinatorikai problémák

A Fibonacci-számokat széles körben használják kombinatorikai feladatok megoldásában.

Kombinatorika a matematikának egy olyan ága, amely meghatározott számú elem kiválasztását vizsgálja egy kijelölt halmazból, felsorolásból stb.

Nézzünk példákat a középiskolai szintre tervezett kombinatorikai problémákra (forrás - http://www.problems.ru/).

1. feladat:

Lesha felmászik egy 10 lépcsős lépcsőn. Egyszerre felugrik egy vagy két lépést. Hányféleképpen tud Lesha felmászni a lépcsőn?

A lehetőségek száma, amelyekről Lesha fel tud mászni a lépcsőn n lépések, jelöljük és n. Ebből következik, hogy egy 1 = 1, a 2= 2 (végül is Lesha egy vagy két lépést ugrik).

Abban is megegyezés született, hogy Lesha felugrik a lépcsőn n> 2 lépések. Tegyük fel, hogy először ugrott két lépést. Ez azt jelenti, hogy a probléma körülményei szerint neki kell ugrani egy másikat n – 2 lépések. Ezután a mászás teljesítésének számos módja a következőképpen van leírva a n–2. És ha feltételezzük, hogy amikor Lesha először csak egy lépést ugrott, akkor leírjuk a mászás befejezésének számos módját a n–1.

Innen a következő egyenlőséget kapjuk: a n = a n–1 + a n–2(ismerősnek tűnik, nem?).

Mióta tudjuk egy 1És a 2és ne feledje, hogy a probléma feltételei szerint 10 lépés van, számolja ki az összeset sorrendben a n: a 3 = 3, egy 4 = 5, egy 5 = 8, egy 6 = 13, a 7 = 21, egy 8 = 34, egy 9 = 55, egy 10 = 89.

Válasz: 89 módon.

2. feladat:

Meg kell találnia azoknak a 10 betűs szavaknak a számát, amelyek csak „a” és „b” betűkből állnak, és nem tartalmazhatnak két „b” betűt egymás után.

Jelöljük azzal a n szavak száma hossza n betűk, amelyek csak az „a” és „b” betűkből állnak, és nem tartalmaznak két „b” betűt egymás után. Eszközök, egy 1= 2, a 2= 3.

Sorban egy 1, a 2, <…>, a n minden következő tagját az előzőeken keresztül fogjuk kifejezni. Ezért a hosszúságú szavak száma az n azok a betűk, amelyek szintén nem tartalmaznak kettős „b” betűt, és „a” betűvel kezdődnek a n–1. És ha hosszú a szó n a betűk „b” betűvel kezdődnek, logikus, hogy egy ilyen szóban a következő betű „a” (elvégre nem lehet két „b” a probléma feltételei szerint). Ezért a hosszúságú szavak száma az n ebben az esetben a betűket jelöljük a n–2. Mind az első, mind a második esetben bármely szó (hosszúsága n – 1És n-2 betűket, illetve) dupla „b” nélkül.

Meg tudtuk indokolni, hogy miért a n = a n–1 + a n–2.

Most számoljunk a 3= a 2+ egy 1= 3 + 2 = 5, egy 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, egy 10= egy 9+ egy 8= 144. És megkapjuk az ismerős Fibonacci sorozatot.

Válasz: 144.

3. feladat:

Képzelje el, hogy van egy cellákra osztott szalag. Jobbra megy, és a végtelenségig tart. Helyezzen egy szöcskét a szalag első négyzetére. Bármelyik cellán is van a szalagon, csak jobbra mozoghat: vagy egy cellát, vagy kettőt. Hányféleképpen ugorhat egy szöcske a szalag elejétől a n-a sejtek?

Jelöljük a szöcske mozgatásának számos módját az öv mentén n-th sejtek, mint a n. Ebben az esetben egy 1 = a 2= 1. Benne is n+1 A szöcske a -edik cellába akár onnan is beléphet n-th cella, vagy átugrással. Innen a n + 1 = a n – 1 + a n. Ahol a n = Fn – 1.

Válasz: Fn – 1.

Ön is létrehozhat hasonló problémákat, és megpróbálhatja megoldani őket a matematika órán az osztálytársaival.

Fibonacci számok a populáris kultúrában

Természetesen egy ilyen szokatlan jelenség, mint a Fibonacci-számok, nem vonhatja magára a figyelmet. Még mindig van valami vonzó, sőt titokzatos ebben a szigorúan ellenőrzött mintában. Nem meglepő, hogy a Fibonacci-szekvencia valahogy „megvilágosodott” a modern populáris kultúra számos művében, különféle műfajokban.

Ezek közül néhányról mesélünk. És megpróbálod újra keresni magad. Ha megtaláltad, oszd meg velünk kommentben – mi is kíváncsiak vagyunk!

• Fibonacci-számokat említ Dan Brown A Da Vinci-kód című bestseller: a Fibonacci-szekvencia a könyv főszereplői által használt kódként szolgál a széf kinyitásához.
• A 2009-es, Mr. Nobody című amerikai filmben az egyik epizódban egy ház címe a Fibonacci sorozat része - 12358. Ráadásul egy másik epizódban a főszereplőnek fel kell hívnia egy telefonszámot, amely lényegében ugyanaz, de kissé torz. (extra számjegy az 5-ös szám után) sorrend: 123-581-1321.
• A 2012-es „Kapcsolat” sorozatban a főszereplő, egy autista fiú képes felismerni a világban zajló események mintáit. Beleértve a Fibonacci-számokat is. És ezeket az eseményeket számokon keresztül is kezelheti.
• A Doom RPG mobiltelefonos java játék fejlesztői titkos ajtót helyeztek el az egyik pályán. A kód, amely megnyitja, a Fibonacci sorozat.
• 2012-ben az orosz Splin rockegyüttes kiadta az „Optical Deception” című konceptalbumot. A nyolcadik szám neve „Fibonacci”. A csoportvezető Alekszandr Vasziljev versei a Fibonacci-számok sorozatán játszanak. Mind a kilenc egymást követő taghoz megfelelő számú sor tartozik (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 A vonat elindult

1 Az egyik ízület elpattant

1 Az egyik ujja remegett

2 Ez az, hozd a cuccot

Ez az, hozd a cuccot

3 Forró víz kérése

A vonat a folyóhoz megy

A vonat átmegy a tajgán<…>.

• James Lyndon limerickje (egy meghatározott formájú rövid költemény - általában ötsoros, meghatározott rímrendszerrel, humoros tartalommal, amelyben az első és az utolsó sor ismétlődik vagy részben megismétli egymást) szintén a Fibonaccira utal. sorozat humoros motívumként:

Fibonacci feleségeinek sűrű tápláléka

Ez csak az ő hasznukra volt, semmi másra.

A feleségek a pletykák szerint súlyt mértek,

Mindegyik olyan, mint az előző kettő.

Foglaljuk össze

Reméljük, hogy sok érdekes és hasznos dolgot tudtunk ma elmondani. Például most megkeresheti a Fibonacci spirált a körülötte lévő természetben. Talán te leszel az, aki képes lesz megfejteni „az élet, az Univerzum és általában a titkát”.

Használja a Fibonacci-számok képletét kombinatorikai feladatok megoldása során. Bízhat a cikkben leírt példákban.

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Ez azonban nem minden, amit az aranymetszés segítségével meg lehet tenni. Ha elosztjuk az egyiket 0,618-cal, akkor 1,618-at kapunk, ha négyzetre emeljük, akkor 2,618-at, ha kockára tesszük, akkor 4,236-ot kapunk. Ezek a Fibonacci-tágulási arányok. Az egyetlen hiányzó szám itt a 3236, amelyet John Murphy javasolt.

Mit gondolnak a szakértők a következetességről?

Egyesek azt mondhatják, hogy ezek a számok már ismerősek, mert technikai elemző programokban használják őket a korrekciók és bővítések nagyságának meghatározására. Ráadásul ezek a sorozatok fontos szerepet játszanak Eliot hullámelméletében. Ezek képezik a numerikus alapját.

Szakértőnk, Nikolay a Vostok befektetési társaság bevált portfóliómenedzsere.

• — Nikolay, szerinted a Fibonacci-számok és származékai véletlenszerű megjelenése a különböző hangszerek listáin? És azt lehet mondani: „A Fibonacci sorozat gyakorlati alkalmazása” megtörténik?
• — Rossz hozzáállásom van a misztikához. És még inkább a tőzsdei grafikonokon. Mindennek megvan a maga oka. a „Fibonacci Levels” című könyvben szépen leírta, hol jelenik meg az aranymetszés, hogy nem lepődött meg, hogy megjelent a tőzsdei jegyzési grafikonokon. De hiába! Számos példájában gyakran szerepel a Pi szám. De valamiért nincs benne az árarányokban.
• – Tehát nem hisz Eliot hullámelvének hatékonyságában?
• - Nem, nem ez a lényeg. A hullám elve egy dolog. A számszerű arány más. Az ártáblázatokon való megjelenésük okai pedig a harmadikak
• — Ön szerint mi az oka annak, hogy az aranymetszés megjelenik a tőzsdei grafikonokon?
• — A kérdésre adott helyes válasz a közgazdasági Nobel-díjat is kiérdemelheti. Egyelőre sejthetjük a valódi okokat. Nyilvánvalóan nincsenek összhangban a természettel. Számos tőzsdei árképzési modell létezik. Nem magyarázzák meg a kijelölt jelenséget. De egy jelenség természetének meg nem értése nem tagadhatja meg a jelenséget mint olyat.
• — És ha ez a törvény valaha is megnyílik, képes lesz-e tönkretenni a cserefolyamatot?
• — Amint ugyanez a hullámelmélet mutatja, a részvényárfolyamok változásának törvénye tiszta pszichológia. Számomra úgy tűnik, hogy ennek a törvénynek a megismerése nem változtat semmin, és nem tudja tönkretenni a tőzsdét.

Az anyagot Maxim webmester blogja biztosította.

A matematika alapelveinek egybeesése számos elméletben hihetetlennek tűnik. Lehet, hogy ez fantázia, vagy a végeredményhez szabott. Várj és láss. Sok minden, ami korábban szokatlannak számított vagy nem volt lehetséges: az űrkutatás például mindennapossá vált, és senkit sem lep meg. Ezenkívül a hullámelmélet, amely talán érthetetlen, idővel elérhetőbbé és érthetőbbé válik. Ami korábban szükségtelen volt, az egy tapasztalt elemző kezében a jövőbeli viselkedés előrejelzésének hatékony eszközévé válik.

Fibonacci számok a természetben.

Néz

Most pedig beszéljünk arról, hogyan cáfolhatja meg azt a tényt, hogy a Fibonacci digitális sorozat bármilyen természeti mintában részt vesz.

Vegyünk bármely másik két számot, és készítsünk egy sorozatot a Fibonacci-számokkal megegyező logikával. Vagyis a sorozat következő tagja egyenlő az előző kettő összegével. Vegyünk például két számot: 6-ot és 51-et. Most összeállítunk egy sorozatot, amelyet két számmal, 1860-mal és 3009-el fogunk kiegészíteni. Figyeljük meg, hogy ezeknek a számoknak az elosztása során az aranymetszethez közeli számot kapunk.

Ugyanakkor a többi pár felosztása során kapott számok az elsőtől az utolsóig csökkentek, ami azt jelenti, hogy ha ez a sorozat a végtelenségig folytatódik, akkor az aranymetszésnek megfelelő számot kapunk.

Így a Fibonacci-számok semmiképpen sem tűnnek ki. Vannak más számsorozatok is, amelyekből végtelen szám van, amelyek ugyanazon műveletek eredményeként a phi arany számot adják.

Fibonacci nem volt ezoterikus. Nem akart semmi misztikát belevinni a számokba, egyszerűen egy hétköznapi problémát oldott meg a nyulakkal kapcsolatban. És írt egy számsort, ami a problémájából következett, az első, a második és a többi hónapban, hogy hány nyúl lesz a tenyésztés után. Egy éven belül megkapta ugyanazt a sorozatot. És nem csináltam kapcsolatot. Szó sem volt arany arányról vagy isteni kapcsolatról. Mindezt utána találták ki a reneszánsz idején.

A matematikához képest a Fibonacci előnyei óriásiak. A számrendszert az araboktól vette át, és bebizonyította annak érvényességét. Kemény és hosszú küzdelem volt. A római számrendszerből: nehéz és kényelmetlen a számoláshoz. A francia forradalom után eltűnt. Fibonaccinak semmi köze az aranymetszethez.