2x2 का एक शेड्यूल है. किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़

दो चर x, y के साथ फॉर्म y = kx + m। सच है, इस समीकरण (इस गणितीय मॉडल में) में दिखाई देने वाले चर x, y को असमान माना जाता था: x एक स्वतंत्र चर (तर्क) है जिसके लिए हम किसी भी चीज़ की परवाह किए बिना कोई भी मान निर्दिष्ट कर सकते हैं; y एक आश्रित चर है क्योंकि इसका मान इस बात पर निर्भर करता है कि x का कौन सा मान चुना गया है। लेकिन फिर एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: क्या वे मिलते हैं? गणितीय मॉडलएक ही योजना के, लेकिन वे जिनमें y को x के माध्यम से सूत्र y = kx + m के अनुसार नहीं, बल्कि किसी अन्य तरीके से व्यक्त किया जाता है? उत्तर स्पष्ट है: अवश्य, वे ऐसा करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि x एक वर्ग की भुजा है और y उसका है
क्षेत्रफल, फिर y - x 2. यदि x किसी घन की भुजा है और y उसका आयतन है, तो y - x 3. यदि x एक आयत की एक भुजा है जिसका क्षेत्रफल 100 सेमी 2 है, और y इसकी दूसरी भुजा है, तो। इसलिए, यह स्वाभाविक है कि गणित में वे मॉडल y-kx + m का अध्ययन करने तक सीमित नहीं हैं, उन्हें मॉडल y = x 2, और मॉडल y = x 3, और मॉडल, और कई अन्य मॉडल का अध्ययन करना होगा; समान संरचना है: समीकरण के बाईं ओर एक चर y है, और दाईं ओर चर x के साथ कुछ अभिव्यक्ति है। ऐसे मॉडलों के लिए, विशेषण "रैखिक" को हटाकर, "फ़ंक्शन" शब्द को बरकरार रखा जाता है।

इस अनुभाग में हम फ़ंक्शन y = x 2 पर विचार करेंगे और इसका निर्माण करेंगे अनुसूची.

आइए स्वतंत्र चर x को कई विशिष्ट मान दें और आश्रित चर y के संबंधित मानों की गणना करें (सूत्र y = x 2 का उपयोग करके):

यदि x = 0, तो y = O 2 = 0;
यदि x = 1, तो y = I 2 = 1;
यदि x = 2, तो y = 2 2 = 4;
यदि x = 3, तो y = 3 2 = 9;
यदि x = - 1, तो y = (- I 2) - 1;
यदि x = - 2, तो y = (- 2) 2 = 4;
यदि x = - 3, तो y = (- 3) 2 = 9;
संक्षेप में, हमने निम्नलिखित तालिका संकलित की है:

एक्स	0	1	2	3	-1	-2	-3
यू	0	1	4	9	1	4	9

आइए पाए गए बिंदुओं का निर्माण करें (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), xOy निर्देशांक तल पर (चित्र 54, ए)।

ये बिंदु एक निश्चित रेखा पर स्थित हैं, आइए इसे बनाएं (चित्र 54, बी)। इस रेखा को परवलय कहा जाता है।

बेशक, आदर्श रूप से तर्क x को सभी संभावित मान देना, चर y के संबंधित मानों की गणना करना और परिणामी बिंदुओं (x; y) को प्लॉट करना आवश्यक होगा। तब शेड्यूल बिल्कुल सटीक, त्रुटिहीन होगा। हालाँकि, यह अवास्तविक है, क्योंकि ऐसे अनगिनत बिंदु हैं। इसलिए, गणितज्ञ ऐसा करते हैं: वे बिंदुओं का एक सीमित सेट लेते हैं, उन पर निर्माण करते हैं विमान का समन्वयऔर देखें कि इन बिंदुओं से कौन सी रेखा रेखांकित होती है। यदि इस रेखा की रूपरेखा बिल्कुल स्पष्ट दिखाई देती है (जैसा कि हमारे लिए मामला था, मान लीजिए, § 28 से उदाहरण 1 में), तो यह रेखा खींची गई है। क्या त्रुटियाँ संभव हैं? इसके बिना नहीं. इसलिए हमें गणित का अधिक से अधिक गहराई से अध्ययन करने की आवश्यकता है ताकि हमारे पास गलतियों से बचने के साधन मौजूद हों।

आइए, चित्र 54 को देखकर, परवलय के ज्यामितीय गुणों का वर्णन करने का प्रयास करें।

पहले तो, हम ध्यान दें कि परवलय काफी सुंदर दिखता है क्योंकि इसमें समरूपता है। वास्तव में, यदि आप x-अक्ष के ऊपर, x-अक्ष के समानांतर कोई सीधी रेखा खींचते हैं, तो यह सीधी रेखा परवलय को y-अक्ष से समान दूरी पर स्थित दो बिंदुओं पर, लेकिन इसके विपरीत पक्षों पर काटेगी ( चित्र 55). वैसे, चित्र 54 में अंकित बिंदुओं के बारे में भी यही कहा जा सकता है:

(1; 1) और (- 1; 1); (2; 4) और (-2; 4); सी; 9) और (-3; 9).

वे कहते हैं कि y-अक्ष परवलय y=x2 की समरूपता का अक्ष है या कि परवलय y-अक्ष के बारे में सममित है।

दूसरे, हम देखते हैं कि समरूपता का अक्ष परवलय को दो भागों में काटता प्रतीत होता है, जिन्हें आमतौर पर परवलय की शाखाएँ कहा जाता है।

तीसरा, हम ध्यान दें कि परवलय का एक विशेष बिंदु होता है जिस पर दोनों शाखाएँ मिलती हैं और जो परवलय की समरूपता के अक्ष पर स्थित होता है - बिंदु (0; 0)। इसकी विशिष्टता को देखते हुए इसे एक विशेष नाम दिया गया - परवलय का शीर्ष।

चौथीजब परवलय की एक शाखा शीर्ष पर दूसरी शाखा से जुड़ती है, तो यह बिना किसी रुकावट के आसानी से होता है; परवलय x-अक्ष पर "दबाया हुआ" प्रतीत होता है। आमतौर पर वे कहते हैं: एक परवलय x-अक्ष को छूता है।

आइए अब चित्र 54 को देखते हुए फ़ंक्शन y = x 2 के कुछ गुणों का वर्णन करने का प्रयास करें।

पहले तो, हम देखते हैं कि x = 0 पर y - 0, x > 0 पर y > 0 और x पर< 0.

दूसरी बात,हम ध्यान दें कि y नाम. = 0, लेकिन नायब मौजूद नहीं है।

तीसरा, हम देखते हैं कि फ़ंक्शन y = x 2 किरण पर घटता है (-°°, 0] - x के इन मानों के साथ, परवलय के साथ बाएं से दाएं चलते हुए, हम "पहाड़ी से नीचे जाते हैं" (चित्र देखें)। 55) किरण पर फलन y = x 2 बढ़ता है;
बी) खंड पर [- 3, - 1.5];
ग) खंड पर [- 3, 2]।

समाधान,

ए) आइए एक परवलय y = x 2 बनाएं और उसके उस भाग का चयन करें जो खंड से चर x के मानों से मेल खाता है (चित्र 56)। ग्राफ़ के चयनित भाग के लिए हम नाम पर पाते हैं। = 1 (x = 1 पर), y अधिकतम। = 9 (x = 3 पर)।

बी) आइए एक परवलय y = x 2 का निर्माण करें और उसके उस भाग का चयन करें जो खंड [-3, -1.5] (चित्र 57) से चर x के मानों से मेल खाता है। ग्राफ़ के चयनित भाग के लिए, हमें y नाम मिलता है। = 2.25 (x = - 1.5 पर), y अधिकतम। = 9 (x = - 3 पर)।

ग) आइए एक परवलय y = x 2 का निर्माण करें और उसके उस भाग का चयन करें जो खंड [-3, 2] से चर x के मानों से मेल खाता है (चित्र 58)। ग्राफ़ के चयनित भाग के लिए, हम y अधिकतम = 0 (x = 0 पर), y अधिकतम पाते हैं। = 9 (x = - 3 पर)।

सलाह। फ़ंक्शन y - x 2 को हर बार बिंदु दर बिंदु प्लॉट करने से बचने के लिए, मोटे कागज से एक परवलय टेम्पलेट काट लें। इसकी सहायता से आप शीघ्रता से परवलय बना लेंगे।

टिप्पणी। आपको एक परवलय टेम्पलेट तैयार करने के लिए आमंत्रित करके, हम फ़ंक्शन y = x 2 और के अधिकारों को बराबर करते प्रतीत होते हैं रैखिक प्रकार्यवाई = केएक्स + एम. आख़िरकार, एक रैखिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है, और एक सीधी रेखा को चित्रित करने के लिए, एक साधारण शासक का उपयोग किया जाता है - यह फ़ंक्शन y = kx + m के ग्राफ़ के लिए टेम्पलेट है। तो आइए आपके पास फ़ंक्शन y = x 2 के ग्राफ़ के लिए एक टेम्पलेट है।

उदाहरण 2.परवलय y = x 2 और सीधी रेखा y - x + 2 के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए हम एक समन्वय प्रणाली में परवलय y = x 2 और सीधी रेखा y = x + 2 का निर्माण करें (चित्र 59)। वे बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं, और चित्र से इन बिंदुओं A और B के निर्देशांक ढूंढना मुश्किल नहीं है: बिंदु A के लिए हमारे पास है: x = - 1, y = 1, और बिंदु B के लिए हमारे पास है: x - 2, वाई = 4.

उत्तर: परवलय y = x 2 और सीधी रेखा y = x + 2 दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं: A (-1; 1) और B (2; 4)।

महत्वपूर्ण लेख।अब तक, आप और मैं ड्राइंग का उपयोग करके निष्कर्ष निकालने में काफी साहसी रहे हैं। हालाँकि, गणितज्ञ रेखाचित्रों पर बहुत अधिक भरोसा नहीं करते हैं। चित्र 59 में एक परवलय और एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन के दो बिंदुओं की खोज करने और चित्र का उपयोग करके इन बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करने के बाद, गणितज्ञ आमतौर पर खुद की जांच करता है: क्या बिंदु (-1; 1) वास्तव में दोनों सीधी रेखा पर स्थित है और परवलय; क्या बिंदु (2; 4) वास्तव में एक सीधी रेखा और एक परवलय दोनों पर स्थित है?

ऐसा करने के लिए, आपको बिंदु ए और बी के निर्देशांक को सीधी रेखा के समीकरण और परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करना होगा, और फिर सुनिश्चित करें कि दोनों मामलों में सही समानता प्राप्त हो। उदाहरण 2 में, दोनों मामलों में समानताएँ सत्य होंगी। यह जाँच विशेषकर तब की जाती है जब ड्राइंग की सटीकता के बारे में संदेह हो।

निष्कर्ष में, हम परवलय के एक दिलचस्प गुण पर ध्यान देते हैं, जिसे भौतिकविदों और गणितज्ञों द्वारा संयुक्त रूप से खोजा और सिद्ध किया गया है।

यदि हम परवलय y = x 2 को एक स्क्रीन के रूप में, एक परावर्तक सतह के रूप में मानते हैं, और बिंदु पर एक प्रकाश स्रोत रखते हैं, तो स्क्रीन के परवलय से परावर्तित किरणें, प्रकाश की एक समानांतर किरण बनाती हैं (चित्र 60) . बिंदु को परवलय का फोकस कहा जाता है। इस विचार का उपयोग कारों में किया जाता है: हेडलाइट की परावर्तक सतह में एक परवलयिक आकार होता है, और प्रकाश बल्ब को फोकल बिंदु पर रखा जाता है - फिर हेडलाइट से प्रकाश काफी दूर तक फैलता है।

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ए. वी. पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

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"द्विघात फलन" - द्विघात फलन का उपयोग कई वर्षों से किया जा रहा है। 8ए कक्षा के छात्र एंड्री गेर्लिट्ज़ द्वारा तैयार किया गया। योजना: असमानताएँ: परिभाषा: गुण: निष्कर्ष: ग्राफ़: द्विघात फलन। -ए के लिए एकरसता का अंतराल > 0 के लिए< 0. 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод.

"पावर फ़ंक्शन ग्रेड 9" - अतिशयोक्ति। Y = xn, y = x-n जहां n एक दी गई प्राकृतिक संख्या है। 1. वाई = x3. हम कार्यों से परिचित हैं। वाई = एक्स. घन परवलय. किसी फ़ंक्शन का डोमेन वह मान है जो वेरिएबल x ले सकता है। घातांक एक सम प्राकृत संख्या (2n) है।

"प्राकृतिक लघुगणक" - "लघुगणक डार्ट्स"। 4. 121. 7. 0.1. प्राकृतिक लघुगणक. 0.04.

"द्विघात फलन और उसका ग्राफ" - 4.या फलन का ग्राफ y=4x बिंदु: A(0.5:1) B(-1:-4)C(-2:16)D(0.1:0.4 )? लेखक: ग्रानोव इल्या। जब a=1, सूत्र y=ax का रूप लेता है। Solution.y=4x A(0.5:1) 1=1 A-संबंधित है। समस्या को सुलझाना:

"8वीं कक्षा का द्विघात फलन" - बीजगणित 8वीं कक्षा के शिक्षक 496 बोविना स्कूल टी.वी. x. 2) सममिति अक्ष x=-1 की रचना करें। -7. एक द्विघात फलन का ग्राफ आलेखित करना। निर्माण योजना। -1. फ़ंक्शन का ग्राफ बनाएं. 1) परवलय के शीर्ष की रचना करें। वाई

"फ़ंक्शन Y फ़ंक्शन ग्राफ़ स्वयं बनाएं: y = x2 + 2; y = x2 – 3; y = (x – 1)2; y = (x + 2)2; y = (x + 1)2 – 2; y = (x – 2)2 + 1; y = (x + 3)*(x – 3); y = x2 + 4x – 4; y = x2 – 6x + 11. फलन y=(x - m)2 का ग्राफ एक परवलय है जिसका शीर्ष बिंदु (m; 0) पर है।

आइए हम समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली चुनें और भुज अक्ष पर तर्क के मानों को आलेखित करें एक्स, और कोर्डिनेट पर - फ़ंक्शन के मान वाई = एफ(एक्स).

फ़ंक्शन ग्राफ़ वाई = एफ(एक्स)उन सभी बिंदुओं का समूह है जिनके भुज फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित हैं, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संबंधित मानों के बराबर हैं।

दूसरे शब्दों में, फलन y = f (x) का ग्राफ समतल के सभी बिंदुओं, निर्देशांकों का समुच्चय है एक्स, परजो रिश्ते को संतुष्ट करता है वाई = एफ(एक्स).

चित्र में. 45 और 46 फ़ंक्शंस के ग्राफ़ दिखाते हैं y = 2x + 1और y = x 2 - 2x.

कड़ाई से बोलते हुए, किसी को किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ (जिसकी सटीक गणितीय परिभाषा ऊपर दी गई थी) और एक खींचे गए वक्र के बीच अंतर करना चाहिए, जो हमेशा ग्राफ़ का केवल अधिक या कम सटीक स्केच देता है (और फिर भी, एक नियम के रूप में, संपूर्ण ग्राफ़ नहीं, बल्कि केवल उसका भाग जो समतल के अंतिम भागों में स्थित है)। हालाँकि, आगे हम आम तौर पर "ग्राफ़ स्केच" के बजाय "ग्राफ़" कहेंगे।

ग्राफ़ का उपयोग करके, आप किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात कर सकते हैं। अर्थात्, यदि बात एक्स = एफ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है वाई = एफ(एक्स), फिर संख्या ज्ञात करने के लिए एफ(ए)(अर्थात बिंदु पर फ़ंक्शन मान एक्स = ए) तुम्हें यह करना चाहिए। यह भुज बिंदु के माध्यम से आवश्यक है एक्स = एकोटि अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचिए; यह रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्रतिच्छेद करेगी वाई = एफ(एक्स)एक बिंदु पर; इस बिंदु की कोटि, ग्राफ़ की परिभाषा के आधार पर, के बराबर होगी एफ(ए)(चित्र 47)।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स) = एक्स 2 - 2एक्सग्राफ़ (चित्र 46) का उपयोग करके हम f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, आदि पाते हैं।

एक फ़ंक्शन ग्राफ़ किसी फ़ंक्शन के व्यवहार और गुणों को स्पष्ट रूप से दर्शाता है। उदाहरण के लिए, चित्र के विचार से। 46 यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन y = x 2 - 2xजब सकारात्मक मान लेता है एक्स< 0 और कम से एक्स > 2, नकारात्मक - 0 पर< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2xपर स्वीकार करता है एक्स = 1.

किसी फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने के लिए एफ(एक्स)आपको समतल के सभी बिंदु, निर्देशांक खोजने होंगे एक्स,परजो समीकरण को संतुष्ट करता है वाई = एफ(एक्स). अधिकांश मामलों में, ऐसा करना असंभव है, क्योंकि ऐसे बिंदुओं की संख्या अनंत है। इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ़ लगभग - अधिक या कम सटीकता के साथ दर्शाया गया है। कई बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ़ बनाने की विधि सबसे सरल है। यह इस तथ्य में निहित है कि तर्क एक्समानों की एक सीमित संख्या दें - मान लें, x 1, x 2, x 3,..., x k और एक तालिका बनाएं जिसमें चयनित फ़ंक्शन मान शामिल हों।

तालिका इस प्रकार दिखती है:

ऐसी तालिका संकलित करके, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर कई बिंदुओं को रेखांकित कर सकते हैं वाई = एफ(एक्स). फिर, इन बिंदुओं को एक चिकनी रेखा से जोड़कर, हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ का अनुमानित दृश्य मिलता है वाई = एफ(एक्स).

हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि बहु-बिंदु आलेखन विधि बहुत अविश्वसनीय है। वास्तव में, इच्छित बिंदुओं के बीच ग्राफ़ का व्यवहार और लिए गए चरम बिंदुओं के बीच के खंड के बाहर उसका व्यवहार अज्ञात रहता है।

उदाहरण 1. किसी फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने के लिए वाई = एफ(एक्स)किसी ने तर्क और फ़ंक्शन मानों की एक तालिका संकलित की:

संबंधित पाँच बिंदु चित्र में दिखाए गए हैं। 48.

इन बिंदुओं के स्थान के आधार पर, उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है (चित्र 48 में एक बिंदीदार रेखा के साथ दिखाया गया है)। क्या इस निष्कर्ष को विश्वसनीय माना जा सकता है? जब तक इस निष्कर्ष का समर्थन करने के लिए अतिरिक्त विचार न हों, इसे शायद ही विश्वसनीय माना जा सकता है। भरोसेमंद।

हमारे कथन को प्रमाणित करने के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें

गणना से पता चलता है कि बिंदु -2, -1, 0, 1, 2 पर इस फ़ंक्शन के मान उपरोक्त तालिका द्वारा सटीक रूप से वर्णित हैं। हालाँकि, इस फ़ंक्शन का ग्राफ बिल्कुल भी सीधी रेखा नहीं है (यह चित्र 49 में दिखाया गया है)। एक अन्य उदाहरण फ़ंक्शन होगा y = x + l + synπx;इसके अर्थ भी उपरोक्त तालिका में वर्णित हैं।

ये उदाहरण दिखाते हैं कि अपने "शुद्ध" रूप में कई बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ़ बनाने की विधि अविश्वसनीय है। इसलिए, किसी दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए, आमतौर पर निम्नानुसार आगे बढ़ना होता है। सबसे पहले, हम इस फ़ंक्शन के गुणों का अध्ययन करते हैं, जिसकी सहायता से हम ग्राफ़ का एक स्केच बना सकते हैं। फिर, कई बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करके (जिनकी पसंद फ़ंक्शन के स्थापित गुणों पर निर्भर करती है), ग्राफ़ के संबंधित बिंदु पाए जाते हैं। और अंत में, इस फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करके निर्मित बिंदुओं के माध्यम से एक वक्र खींचा जाता है।

हम बाद में ग्राफ़ स्केच खोजने के लिए उपयोग किए जाने वाले फ़ंक्शन के कुछ (सबसे सरल और सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले) गुणों को देखेंगे, लेकिन अब हम ग्राफ़ बनाने के लिए कुछ सामान्य रूप से उपयोग की जाने वाली विधियों को देखेंगे।

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = |f(x)|

किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करना अक्सर आवश्यक होता है वाई = |एफ(एक्स)|, कहाँ एफ(एक्स) -दिया गया कार्य. आइए हम आपको याद दिलाएं कि यह कैसे किया जाता है। किसी संख्या का निरपेक्ष मान परिभाषित करके हम लिख सकते हैं

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ y =|f(x)|ग्राफ़, फ़ंक्शन से प्राप्त किया जा सकता है वाई = एफ(एक्स)इस प्रकार: फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर सभी बिंदु वाई = एफ(एक्स), जिनके निर्देशांक गैर-नकारात्मक हैं, उन्हें अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए; आगे, फ़ंक्शन ग्राफ़ के बिंदुओं के बजाय वाई = एफ(एक्स)नकारात्मक निर्देशांक होने पर, आपको फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर संबंधित बिंदुओं का निर्माण करना चाहिए y = -f(x)(अर्थात् फ़ंक्शन के ग्राफ़ का भाग
वाई = एफ(एक्स), जो अक्ष के नीचे स्थित है एक्स,अक्ष के चारों ओर सममित रूप से प्रतिबिंबित होना चाहिए एक्स).

उदाहरण 2.फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं y = |x|

आइए फ़ंक्शन का ग्राफ़ लें वाई = एक्स(चित्र 50, ए) और इस ग्राफ का भाग एक्स< 0 (धुरी के नीचे लेटा हुआ एक्स) अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से परिलक्षित होता है एक्स. परिणामस्वरूप, हमें फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ मिलता है y = |x|(चित्र 50, बी)।

उदाहरण 3. फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं y = |x 2 - 2x|

सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें y = x 2 - 2x.इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, परवलय के शीर्ष पर निर्देशांक (1; -1) होते हैं, इसका ग्राफ़ x-अक्ष को बिंदु 0 और 2 पर प्रतिच्छेद करता है। अंतराल में (0; 2) फ़ंक्शन नकारात्मक मान लेता है, इसलिए ग्राफ़ का यह भाग एब्सिस्सा अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से प्रतिबिंबित होता है। चित्र 51 फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है y = |x 2 -2x|, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के आधार पर y = x 2 - 2x

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = f(x) + g(x)

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने की समस्या पर विचार करें y = f(x) + g(x).यदि फ़ंक्शन ग्राफ़ दिए गए हैं वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स).

ध्यान दें कि फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र y = |f(x) + g(x)| x के उन सभी मानों का समुच्चय है जिसके लिए दोनों फ़ंक्शन y = f(x) और y = g(x) परिभाषित हैं, यानी परिभाषा का यह डोमेन परिभाषा के डोमेन, फ़ंक्शन f(x) का प्रतिच्छेदन है और जी(एक्स).

चलो अंक (x 0 , y 1) और (एक्स 0, वाई 2) क्रमशः फ़ंक्शंस के ग्राफ़ से संबंधित हैं वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स), यानी y 1 = एफ(एक्स 0), वाई 2 = जी(एक्स 0)।फिर बिंदु (x0;. y1 + y2) फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित है वाई = एफ(एक्स) + जी(एक्स)(के लिए एफ(एक्स 0) + जी(एक्स 0) = य 1 +y2),. और फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर कोई भी बिंदु वाई = एफ(एक्स) + जी(एक्स)इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है. इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ़ वाई = एफ(एक्स) + जी(एक्स)फ़ंक्शन ग्राफ़ से प्राप्त किया जा सकता है वाई = एफ(एक्स). और वाई = जी(एक्स)प्रत्येक बिंदु को प्रतिस्थापित करना ( एक्स एन, वाई 1) फ़ंक्शन ग्राफ़िक्स वाई = एफ(एक्स)डॉट (एक्स एन, वाई 1 + वाई 2),कहाँ आप 2 = जी(एक्स एन), यानी प्रत्येक बिंदु को स्थानांतरित करके ( एक्स एन, वाई 1) फ़ंक्शन ग्राफ़ वाई = एफ(एक्स)अक्ष के अनुदिश परराशि से वाई 1 = जी(एक्स एन). इस मामले में केवल ऐसे बिंदुओं पर ही विचार किया जाता है एक्स n जिसके लिए दोनों फ़ंक्शन परिभाषित हैं वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स).

किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करने की यह विधि y = f(x) + g(x) को फ़ंक्शन ग्राफ़ का जोड़ कहा जाता है वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स)

उदाहरण 4. चित्र में, ग्राफ़ जोड़ने की विधि का उपयोग करके फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाया गया था
y = x + synx.

किसी फ़ंक्शन की योजना बनाते समय y = x + synxहमने ऐसा सोचा एफ(एक्स) = एक्स,ए जी(एक्स) = सिनएक्स.फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाने के लिए, हम भुज -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2 वाले बिंदुओं का चयन करते हैं। एफ(एक्स) = एक्स, जी(एक्स) = सिनएक्स, वाई = एक्स + सिनएक्सआइए चयनित बिंदुओं पर गणना करें और परिणामों को तालिका में रखें।

पाठ्यपुस्तक:

माकार्यचेव यू.एन., मिंड्युक एन.आर. गणित। 7 वीं कक्षा

लक्ष्य:

ग्राफ़ बनाते समय ग्राफिक साक्षरता विकसित करें,

अनुसंधान कौशल विकसित करें,

उत्तर देने में स्पष्टता, सटीकता और जिम्मेदारी विकसित करें।

I. छात्र सर्वेक्षण

फ़ंक्शन किसे कहते हैं?

(एक फ़ंक्शन एक चर की दूसरे पर निर्भरता है, जिसमें स्वतंत्र चर का प्रत्येक मान आश्रित चर के एकल मान से मेल खाता है)

किसी फ़ंक्शन का डोमेन क्या है?

(सभी मान जो स्वतंत्र चर (तर्क) फ़ंक्शन के डोमेन का निर्माण करते हैं।)

किसी फ़ंक्शन की सीमा क्या है?

(सभी मान जो आश्रित चर लेता है, फ़ंक्शन मान कहलाते हैं)

हमें किन कार्यों के बारे में पता चला?

a) प्रपत्र के एक रैखिक कार्य के साथ वाई = केएक्स + बी,

प्रपत्र की प्रत्यक्ष आनुपातिकता वाई = केएक्स

बी) प्रपत्र के कार्यों के साथ वाई = एक्स 2, वाई = एक्स 3

एक रैखिक फलन का ग्राफ क्या है? ( सीधा). इस ग्राफ़ को बनाने के लिए कितने बिंदुओं की आवश्यकता है?

निर्माण किए बिना, निम्नलिखित सूत्रों द्वारा दिए गए कार्यों के ग्राफ़ की सापेक्ष स्थिति निर्धारित करें:

ए ) y = 3x + 2; y = 1.2x + 5;

बी) y = 1.5x + 4; y = -0.2x + 4; वाई = एक्स + 4;

साथ) y = 2x + 5; y = 2x - 7; y = 2x

चित्र 1

यह आंकड़ा रैखिक कार्यों के ग्राफ़ दिखाता है ( प्रत्येक छात्र को उनके डेस्क पर ग्राफ़ के साथ कागज की एक शीट दी जाती है।). प्रत्येक ग्राफ़ के लिए एक सूत्र लिखें

हम अभी भी किस फ़ंक्शन ग्राफ़ से परिचित हैं? ( वाई = एक्स 2; y = x 3 )

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ क्या है y = x 2 (परवलय).
एक परवलय को चित्रित करने के लिए हमें कितने बिंदुओं का निर्माण करना होगा? ( 7, जिनमें से एक परवलय का शीर्ष है).

आइए सूत्र द्वारा दिए गए परवलय का निर्माण करें y = x 2