एक ग्राफ़ से एक रैखिक फ़ंक्शन का विश्लेषणात्मक मॉडल। रैखिक प्रकार्य

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कक्षा: 7

यह फ़ंक्शन स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में अग्रणी स्थानों में से एक है और अन्य विज्ञानों में इसके कई अनुप्रयोग हैं। अध्ययन की शुरुआत में, प्रेरणा और मुद्दे को साकार करने के उद्देश्य से, मैं आपको सूचित करता हूं कि प्रकृति में एक भी घटना, एक भी प्रक्रिया का अध्ययन नहीं किया जा सकता है, किसी भी मशीन का निर्माण नहीं किया जा सकता है और फिर संपूर्ण गणितीय विवरण के बिना उसे संचालित नहीं किया जा सकता है। . इसके लिए एक उपकरण एक फ़ंक्शन है। इसका अध्ययन 7वीं कक्षा में शुरू होता है, एक नियम के रूप में, बच्चे इसकी परिभाषा में नहीं पड़ते हैं। परिभाषा के क्षेत्र और अर्थ के क्षेत्र में अवधारणाओं तक पहुंचना विशेष रूप से कठिन है। गति और मूल्य की समस्याओं में मात्राओं के बीच ज्ञात कनेक्शन का उपयोग करके, मैं उन्हें फ़ंक्शन की भाषा में अनुवाद करता हूं, इसकी परिभाषा के साथ संबंध बनाए रखता हूं। इस प्रकार, छात्र सचेतन स्तर पर कार्य की अवधारणा विकसित करते हैं। उसी चरण में, नई अवधारणाओं पर श्रमसाध्य कार्य किया जाता है: परिभाषा का क्षेत्र, मूल्य का क्षेत्र, तर्क, किसी फ़ंक्शन का मूल्य। मैं उन्नत शिक्षण का उपयोग करता हूं: मैं संकेतन डी(वाई), ई(वाई) का परिचय देता हूं, स्थिर चिह्न वाले क्षेत्रों के साथ अभ्यासों को हल करते समय एक फ़ंक्शन के शून्य की अवधारणा (विश्लेषणात्मक और ग्राफिक रूप से) पेश करता हूं। छात्र जितनी जल्दी और अधिक बार कठिन अवधारणाओं का सामना करते हैं, वे दीर्घकालिक स्मृति के स्तर पर उनके बारे में उतना ही बेहतर जागरूक हो जाते हैं। एक रैखिक फलन का अध्ययन करते समय, रैखिक समीकरणों और प्रणालियों के समाधान के साथ और बाद में रैखिक असमानताओं और उनकी प्रणालियों के समाधान के साथ संबंध दिखाने की सलाह दी जाती है। व्याख्यान में, छात्रों को नई जानकारी का एक बड़ा ब्लॉक (मॉड्यूल) प्राप्त होता है, इसलिए, व्याख्यान के अंत में, सामग्री को "गलत" कर दिया जाता है और एक सारांश संकलित किया जाता है जिसे छात्रों को अवश्य जानना चाहिए। विभिन्न तरीकों का उपयोग करके अभ्यास करने की प्रक्रिया में व्यावहारिक कौशल विकसित होते हैं, जो व्यक्तिगत और स्वतंत्र कार्य पर आधारित होते हैं।

1. रैखिक फलनों के बारे में कुछ जानकारी।

व्यवहार में रैखिक फलन का अक्सर सामना किया जाता है। छड़ की लंबाई तापमान का एक रैखिक कार्य है। रेल और पुलों की लंबाई भी तापमान का एक रैखिक कार्य है। पैदल यात्री, ट्रेन या कार द्वारा स्थिर गति से तय की गई दूरी यात्रा के समय का एक रैखिक कार्य है।

एक रैखिक फलन कई भौतिक संबंधों और कानूनों का वर्णन करता है। आइए उनमें से कुछ पर नजर डालें।

1) l = l о (1+at) - ठोस पदार्थों का रैखिक विस्तार।

2) v = v о (1+bt) - ठोस पदार्थों का आयतन विस्तार।

3) पी=पी ओ (1+एटी) - तापमान पर ठोस कंडक्टरों की प्रतिरोधकता की निर्भरता।

4) v = v o + at - समान रूप से त्वरित गति की गति।

5) x= x o + vt - एकसमान गति का निर्देशांक।

कार्य 1. सारणीबद्ध डेटा से रैखिक फ़ंक्शन निर्धारित करें:

एक्स	1	3
पर	-1	3

समाधान। y= kx+b, समस्या को समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने तक सीमित कर दिया गया है: 1=k 1+b और 3=k 3 + b

उत्तर: y = 2x – 3.

समस्या 2. समान रूप से और सीधा चलते हुए, शरीर पहले 8 सेकंड में 14 मीटर और अन्य 4 सेकंड में 12 मीटर चला। इन आंकड़ों के आधार पर गति का एक समीकरण बनाएं।

समाधान। समस्या की शर्तों के अनुसार, हमारे पास दो समीकरण हैं: 14 = x o +8 v o और 26 = x o +12 v o, समीकरणों की प्रणाली को हल करने पर, हमें v = 3, x o = -10 प्राप्त होता है।

उत्तर: x = -10 + 3t.

समस्या 3. एक कार 80 किमी/घंटा की गति से चलती हुई शहर से बाहर चली गई। डेढ़ घंटे बाद उसके पीछे एक मोटरसाइकिल आई, जिसकी स्पीड 100 किमी/घंटा थी. मोटरसाइकिल को उसे पकड़ने में कितना समय लगेगा? यह शहर से कितनी दूरी पर होगा?

उत्तर: 7.5 घंटे, 600 किमी.

कार्य 4.प्रारंभिक क्षण में दो बिंदुओं के बीच की दूरी 300 मीटर है। बिंदु 1.5 मीटर/सेकेंड और 3.5 मीटर/सेकेंड की गति से एक दूसरे की ओर बढ़ते हैं। वे कब मिलेंगे? ऐसा कहां होगा?

उत्तर: 60 सेकंड, 90 मी.

कार्य 5. 0° C पर एक तांबे के रूलर की लंबाई 1 मीटर है। जब इसका तापमान 35 o, 1000 o C (तांबे का गलनांक 1083 o C है) बढ़ने पर इसकी लंबाई में वृद्धि ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 0.6 मिमी.

2. प्रत्यक्ष आनुपातिकता।

भौतिकी के कई नियम प्रत्यक्ष आनुपातिकता के माध्यम से व्यक्त किये जाते हैं। ज्यादातर मामलों में, इन कानूनों को लिखने के लिए एक मॉडल का उपयोग किया जाता है

कुछ मामलों में -

आइए कुछ उदाहरण दें.

1. एस = वी टी (वी - स्थिरांक)

2. वी = ए टी (ए - स्थिरांक, ए - त्वरण)।

3. एफ = केएक्स (हुक का नियम: एफ - बल, के - कठोरता (स्थिरांक), एक्स - बढ़ाव)।

4. E= F/q (E विद्युत क्षेत्र के दिए गए बिंदु पर तीव्रता है, E स्थिरांक है, F आवेश पर लगने वाला बल है, q आवेश का परिमाण है)।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता के गणितीय मॉडल के रूप में, आप त्रिभुजों की समानता या खंडों की आनुपातिकता (थेल्स प्रमेय) का उपयोग कर सकते हैं।

समस्या 1. ट्रेन 5 सेकंड में ट्रैफिक लाइट को पार कर गई, और 150 मीटर लंबे प्लेटफॉर्म को 15 सेकंड में पार कर गई। ट्रेन की लंबाई और उसकी गति क्या है?

समाधान। माना x ट्रेन की लंबाई है, x+150 ट्रेन और प्लेटफॉर्म की कुल लंबाई है। इस समस्या में, गति स्थिर है, और समय लंबाई के समानुपाती है।

हमारे पास अनुपात है: (x+150) :15 = x: 5.

जहाँ x = 75, v = 15.

उत्तर। 75 मीटर, 15 मीटर/सेकेंड।

समस्या 2. नाव ने कुछ समय में धारा के अनुकूल 90 किमी की दूरी तय की। उसी दौरान उसने धारा के विपरीत 70 किमी की यात्रा की होगी। इस समय में बेड़ा कितनी दूरी तय करेगा?

उत्तर। 10 कि.मी.

समस्या 3. हवा का प्रारंभिक तापमान क्या था, यदि 3 डिग्री तक गर्म करने पर, इसकी मात्रा मूल के 1% तक बढ़ जाती है।

उत्तर। 300 K (केल्विन) या 27 0 C.

"रैखिक कार्य" विषय पर व्याख्यान।

बीजगणित, 7वीं कक्षा

1. सुप्रसिद्ध सूत्रों का उपयोग करके समस्याओं के उदाहरणों पर विचार करें:

एस = वी टी (पथ सूत्र), (1)

सी = सीके (मूल्य सूत्र)। (2)

समस्या 1. कार बिंदु A से 20 किमी चली और 62 किमी/घंटा की गति से अपनी यात्रा जारी रखी। t घंटे के बाद कार बिंदु A से कितनी दूरी पर होगी? समस्या के लिए दूरी S को दर्शाते हुए एक अभिव्यक्ति बनाएं, इसे t = 1 घंटा, 2.5 घंटे, 4 घंटे पर खोजें।

1) सूत्र (1) का उपयोग करके हम समय टी, एस 1 = 62 टी में 62 किमी/घंटा की गति से एक कार द्वारा तय किया गया पथ पाते हैं;
2) फिर बिंदु A से t घंटे के बाद कार S = S 1 + 20 या S = 62t + 20 की दूरी पर होगी, आइए S का मान ज्ञात करें:

टी = 1 पर, एस = 62*1 + 20, एस = 82;
टी = 2.5 पर, एस = 62*2.5 + 20, एस = 175;
t = 4 पर, S = 62*4+ 20, S = 268।

हम ध्यान दें कि S ज्ञात करते समय, केवल t और S का मान बदलता है, अर्थात। t और S चर हैं, और S, t पर निर्भर करता है, t का प्रत्येक मान S के एकल मान से मेल खाता है। चर S को Y से और t को x से निरूपित करते हुए, हमें इस समस्या को हल करने के लिए एक सूत्र प्राप्त होता है:

Y= 62x + 20. (3)

समस्या 2. एक दुकान में हमने 150 रूबल की एक पाठ्यपुस्तक और n रूबल की 15 नोटबुक खरीदीं। आपने खरीदारी के लिए कितना पैसा चुकाया? समस्या के लिए एक अभिव्यक्ति बनाएं, लागत C को दर्शाते हुए, इसे n = 5,8,16 के लिए खोजें।

1) सूत्र (2) का उपयोग करके हम नोटबुक सी 1 = 15 एन की लागत पाते हैं;
2) तो पूरी खरीद की लागत C = C 1 +150 या C = 15n+150 है, आइए C का मूल्य ज्ञात करें:

n = 5, C = 15 5 + 150, C = 225 के साथ;
n = 8, C = 15 8 + 150, C = 270 के साथ;
n = 16, C = 15 16+ 150, C = 390 के साथ।

इसी प्रकार, हम देखते हैं कि C और n चर हैं, n के प्रत्येक मान के लिए C का एक ही मान मेल खाता है। चर C को Y और n को x के रूप में दर्शाते हुए, हमें समस्या 2 को हल करने के लिए एक सूत्र प्राप्त होता है:

Y= 15x + 150. (4)

सूत्र (3) और (4) की तुलना करते हुए, हम आश्वस्त हैं कि चर Y को उसी एल्गोरिदम का उपयोग करके चर x के माध्यम से पाया जाता है। हमने केवल दो अलग-अलग समस्याओं पर विचार किया जो उन घटनाओं का वर्णन करती हैं जो हमें हर दिन घेरती हैं। वास्तव में, ऐसी कई प्रक्रियाएं हैं जो प्राप्त कानूनों के अनुसार बदलती हैं, इसलिए चर के बीच ऐसी निर्भरता अध्ययन के योग्य है।

समस्याओं के समाधान से पता चलता है कि चर x के मानों को मनमाने ढंग से चुना जाता है, जो समस्याओं की स्थितियों को संतुष्ट करता है (समस्या 1 में सकारात्मक और समस्या 2 में प्राकृतिक), यानी x एक स्वतंत्र चर है (इसे एक तर्क कहा जाता है), और Y एक आश्रित चर है और उनके बीच एक-से-एक पत्राचार होता है, और परिभाषा के अनुसार ऐसी निर्भरता एक फ़ंक्शन है। इसलिए, x के गुणांक को अक्षर k से और मुक्त पद को अक्षर b से निरूपित करते हुए, हमें सूत्र प्राप्त होता है

वाई= केएक्स + बी.

परिभाषा: प्रपत्र का कार्य y= kx + b, जहां k, b कुछ संख्याएं हैं, x एक तर्क है, y फ़ंक्शन का मान है, जिसे एक रैखिक फ़ंक्शन कहा जाता है।

एक रैखिक फलन के गुणों का अध्ययन करने के लिए, हम परिभाषाएँ प्रस्तुत करते हैं।

परिभाषा 1. एक स्वतंत्र चर के स्वीकार्य मानों के सेट को फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन कहा जाता है (स्वीकार्य - इसका मतलब है x के वे संख्यात्मक मान जिनके लिए गणना y की जाती है) और इसे D(y) से दर्शाया जाता है।

परिभाषा 2. आश्रित चर के मानों के समूह को फ़ंक्शन का डोमेन कहा जाता है (ये संख्यात्मक मान हैं जो y लेता है) और इसे E(y) दर्शाया जाता है।

परिभाषा 3. किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ निर्देशांक तल पर बिंदुओं का समूह है जिसके निर्देशांक सूत्र को वास्तविक समानता में बदल देते हैं।

परिभाषा 4. x के गुणांक k को ढलान कहा जाता है।

आइए एक रैखिक फलन के गुणों पर विचार करें।

1. डी(वाई) - सभी संख्याएं (गुणन सभी संख्याओं के सेट पर परिभाषित किया गया है)।
2. ई(वाई) - सभी संख्याएँ।
3. यदि y = 0, तो x = -b/k, बिंदु (-b/k;0) - ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु, फ़ंक्शन का शून्य कहा जाता है।
4. यदि x = 0, तो y = b, बिंदु (0; b) ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है।
5. आइए जानें कि निर्देशांक तल पर रैखिक फलन किस रेखा पर बिंदुओं को पंक्तिबद्ध करेगा, अर्थात जो फ़ंक्शन का ग्राफ़ है। ऐसा करने के लिए, कार्यों पर विचार करें

1) y= 2x + 3, 2) y= -3x – 2.

प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए हम मानों की एक तालिका बनाएंगे। आइए x वेरिएबल के मनमाने मान सेट करें और Y वेरिएबल के संबंधित मानों की गणना करें।

एक्स	-1,5	-2	0	1	2
वाई	0	-1	3	5	7

समन्वय तल पर परिणामी जोड़े (x;y) का निर्माण करने और उन्हें प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए अलग से जोड़ने के बाद (हमने 1 के चरण के साथ x मान लिया, यदि हम चरण को कम करते हैं, तो बिंदु अधिक बार पंक्तिबद्ध हो जाएंगे, और यदि चरण शून्य के करीब है, तो बिंदु एक ठोस रेखा में विलीन हो जाएंगे), हम देखते हैं कि स्थिति 1 में) और स्थिति 2 में बिंदु एक सीधी रेखा में ऊपर हैं)। इस तथ्य के कारण कि फ़ंक्शंस को मनमाने ढंग से चुना जाता है (अपने स्वयं के ग्राफ़ बनाएं y= 0.5x – 4, y= x + 5), हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि कि एक रैखिक फलन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है. एक सीधी रेखा के गुण का उपयोग करना: दो बिंदुओं से होकर गुजरने वाली केवल एक सीधी रेखा होती है, एक सीधी रेखा बनाने के लिए दो बिंदु लेना पर्याप्त है।

6. ज्यामिति से यह ज्ञात होता है कि रेखाएँ या तो प्रतिच्छेद कर सकती हैं या समानांतर हो सकती हैं। आइए कई फ़ंक्शनों के ग्राफ़ की सापेक्ष स्थिति का अध्ययन करें।

1) y= -x + 5, y= -x + 3, y= -x – 4; 2) y= 2x + 2, y= x + 2, y= -0.5x + 2.

आइए ग्राफ़ 1) और 2) के समूह बनाएं और निष्कर्ष निकालें।

फ़ंक्शंस 1) के ग्राफ़ समानांतर में स्थित हैं, सूत्रों की जांच करते हुए, हम देखते हैं कि सभी फ़ंक्शंस में x के लिए समान गुणांक हैं।

फ़ंक्शंस 2) के ग्राफ़ एक बिंदु (0;2) पर प्रतिच्छेद करते हैं। सूत्रों की जांच करने पर, हम देखते हैं कि गुणांक भिन्न हैं, और संख्या b = 2 है।

इसके अलावा, यह नोटिस करना आसान है कि k › 0 के साथ रैखिक कार्यों द्वारा परिभाषित सीधी रेखाएं ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक न्यून कोण बनाती हैं, और k ‹ 0 के साथ एक अधिक कोण बनाती हैं। इसलिए, गुणांक k को ढलान गुणांक कहा जाता है।

7. आइए गुणांकों के आधार पर एक रैखिक फलन के विशेष मामलों पर विचार करें।

1) यदि b=0, तो फ़ंक्शन y= kx का रूप लेता है, फिर k = y/x (अनुपात दिखाता है कि अंतर कितना गुना है या y x से कितना भाग है)।

Y= kx रूप के एक फलन को प्रत्यक्ष आनुपातिकता कहा जाता है। इस फ़ंक्शन में एक रैखिक फ़ंक्शन के सभी गुण हैं, इसकी ख़ासियत यह है कि x=0 y=0 के लिए। प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ़ मूल बिंदु (0;0) से होकर गुजरता है।

2) यदि k = 0 है, तो फ़ंक्शन y = b का रूप लेता है, जिसका अर्थ है कि x के किसी भी मान के लिए फ़ंक्शन समान मान लेता है।

y = b के रूप का एक फलन स्थिरांक कहलाता है। फ़ंक्शन का ग्राफ़ ऑक्सी अक्ष के समानांतर बिंदु (0;बी) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है, स्थिर फ़ंक्शन का ग्राफ़ एब्सिस्सा अक्ष के साथ मेल खाता है।

अमूर्त

1. परिभाषा Y = kx + b के रूप का एक फ़ंक्शन, जहां k, b कुछ संख्याएं हैं, x एक तर्क है, Y फ़ंक्शन का मान है, एक रैखिक फ़ंक्शन कहलाता है।

डी(वाई) - सभी संख्याएँ।

ई(वाई) - सभी संख्याएँ।

एक रैखिक फलन का ग्राफ़ बिंदु (0;बी) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

2. यदि b=0, तो फ़ंक्शन y= kx का रूप लेता है, जिसे प्रत्यक्ष आनुपातिकता कहा जाता है। एक प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ मूल बिंदु से होकर गुजरता है।

3. यदि k = 0 है, तो फ़ंक्शन y= b का रूप लेता है और इसे स्थिरांक कहा जाता है। एक स्थिर फलन का ग्राफ भुज अक्ष के समानांतर बिंदु (0;b) से होकर गुजरता है।

4. रैखिक फलनों के ग्राफों की पारस्परिक व्यवस्था।

फलन y= k 1 x + b 1 और y= k 2 x + b 2 दिये गये हैं।

यदि k 1 = k 2, तो ग्राफ़ समानांतर हैं;

यदि k 1 और k 2 बराबर नहीं हैं, तो ग्राफ़ प्रतिच्छेद करते हैं।

5. रैखिक फलनों के ग्राफ़ के उदाहरणों के लिए ऊपर देखें।

साहित्य।

1. पाठ्यपुस्तक यू.एन. मकर्यचेव, एन.जी. मिंड्युक, के.आई. नेशकोव और अन्य। "बीजगणित, 8."
2. ग्रेड 8/वी.आई. के लिए बीजगणित पर उपदेशात्मक सामग्री। झोखोव, यू.एन. मकर्यचेव, एन.जी. मिंड्युक। - एम.: शिक्षा, 2006. - 144 पी.
3. समाचार पत्र सितंबर 1 "गणित", 2001, क्रमांक 2, क्रमांक 4 का अनुपूरक।

निर्देश

किसी रेखा पर किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, उसे रेखा पर चुनें और निर्देशांक अक्ष पर लंबवत रेखाएँ खींचें। निर्धारित करें कि प्रतिच्छेदन बिंदु किस संख्या से मेल खाता है, x अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन भुज मान है, अर्थात, x1, y अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन कोटि है, y1।

गणना की सुविधा और सटीकता के लिए एक ऐसा बिंदु चुनने का प्रयास करें जिसके निर्देशांक भिन्नात्मक मानों के बिना निर्धारित किए जा सकें। एक समीकरण बनाने के लिए आपको कम से कम दो बिंदुओं की आवश्यकता होती है। इस रेखा (x2, y2) से संबंधित किसी अन्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

सामान्य रूप y=kx+b वाली सीधी रेखा के समीकरण में निर्देशांक मानों को प्रतिस्थापित करें। आपको दो समीकरणों y1=kx1+b और y2=kx2+b की एक प्रणाली मिलेगी। उदाहरण के लिए, इस प्रणाली को निम्नलिखित तरीके से हल करें।

पहले समीकरण से b को व्यक्त करें और दूसरे में प्रतिस्थापित करें, k खोजें, किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करें और b खोजें। उदाहरण के लिए, सिस्टम 1=2k+b और 3=5k+b का समाधान इस तरह दिखेगा: b=1-2k, 3=5k+(1-2k); 3k=2, k=1.5, b=1-2*1.5=-2. इस प्रकार, सीधी रेखा का समीकरण y=1.5x-2 है।

एक रेखा से संबंधित दो बिंदुओं को जानते हुए, एक रेखा के विहित समीकरण का उपयोग करने का प्रयास करें, यह इस तरह दिखता है: (x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1)। मान (x1;y1) और (x2;y2) रखें, सरल करें। उदाहरण के लिए, बिंदु (2;3) और (-1;5) सीधी रेखा (x-2)/(-1-2)=(y-3)/(5-3) से संबंधित हैं; -3(x-2)=2(y-3); -3x+6=2y-6; 2y=12-3x या y=6-1.5x.

किसी ऐसे फ़ंक्शन का समीकरण खोजने के लिए जिसमें एक अरेखीय ग्राफ़ है, निम्नानुसार आगे बढ़ें। सभी मानक चार्ट देखें y=x^2, y=x^3, y=√x, y=sinx, y=cosx, y=tgx, आदि। यदि उनमें से कोई आपको आपके शेड्यूल की याद दिलाता है, तो इसे आधार के रूप में उपयोग करें।

समान निर्देशांक अक्ष पर आधार फ़ंक्शन का एक मानक ग्राफ़ बनाएं और इसे अपने ग्राफ़ से ढूंढें। यदि ग्राफ़ को कई इकाइयाँ ऊपर या नीचे ले जाया जाता है, तो इसका मतलब है कि यह संख्या फ़ंक्शन में जोड़ दी गई है (उदाहरण के लिए, y=sinx+4)। यदि ग्राफ़ को दाएँ या बाएँ ले जाया जाता है, तो इसका मतलब है कि तर्क में एक संख्या जोड़ी गई है (उदाहरण के लिए, y=sin (x+P/2)।

ऊंचाई में एक लम्बा ग्राफ इंगित करता है कि तर्क फ़ंक्शन को कुछ संख्या से गुणा किया जाता है (उदाहरण के लिए, y=2sinx)। इसके विपरीत, यदि ग्राफ़ की ऊंचाई कम हो जाती है, तो इसका मतलब है कि फ़ंक्शन के सामने की संख्या 1 से कम है।

आधार फ़ंक्शन के ग्राफ़ और चौड़ाई के आधार पर अपने फ़ंक्शन की तुलना करें। यदि यह संकरा है, तो x के पहले 1 से बड़ी संख्या होती है, चौड़ी - 1 से कम की संख्या होती है (उदाहरण के लिए, y=sin0.5x)।

टिप्पणी

शायद ग्राफ़ केवल एक निश्चित खंड पर पाए गए समीकरण से मेल खाता है। इस मामले में, इंगित करें कि परिणामी समानता x के किन मानों के लिए है।

सीधी रेखा प्रथम कोटि की एक बीजगणितीय रेखा है। एक समतल पर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, एक सीधी रेखा का समीकरण पहली डिग्री के समीकरण द्वारा दिया जाता है।

आपको चाहिये होगा

• विश्लेषणात्मक ज्यामिति का ज्ञान. बीजगणित का बुनियादी ज्ञान.

निर्देश

समीकरण दो द्वारा दिया गया है जिस पर यह सीधी रेखा गुजरनी चाहिए। आइए इन बिंदुओं के निर्देशांक का अनुपात बनाएं। मान लीजिए कि पहले बिंदु के निर्देशांक (x1,y1) हैं, और दूसरे बिंदु के निर्देशांक (x2,y2) हैं, तो सीधी रेखा का समीकरण इस प्रकार लिखा जाएगा: (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1) )(y2-y1).

आइए परिणामी सीधी रेखा समीकरण को रूपांतरित करें और y को x के संदर्भ में स्पष्ट रूप से व्यक्त करें। इस ऑपरेशन के बाद, सीधी रेखा का समीकरण अपना अंतिम रूप लेगा: y=(x-x1)/((x2-x1)*(y2-y1))+y1.

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टिप्पणी

यदि हर में से एक संख्या शून्य है, तो इसका मतलब है कि रेखा निर्देशांक अक्षों में से किसी एक के समानांतर है।

मददगार सलाह

रेखा का समीकरण लिखने के बाद उसकी सत्यता की जाँच करें। ऐसा करने के लिए, संबंधित निर्देशांक के स्थान पर बिंदुओं के निर्देशांक रखें और सुनिश्चित करें कि समानता संतुष्ट है।

यह अक्सर ज्ञात होता है कि y, x पर रैखिक रूप से निर्भर करता है, और इस निर्भरता का एक ग्राफ दिया गया है। इस स्थिति में, रेखा का समीकरण ज्ञात करना संभव है। सबसे पहले आपको एक सीधी रेखा पर दो बिंदुओं का चयन करना होगा।

निर्देश

चयनित बिंदु खोजें. ऐसा करने के लिए, समन्वय अक्ष पर स्थित बिंदुओं से लंबों को नीचे करें और पैमाने से संख्याएँ लिखें। तो हमारे उदाहरण से बिंदु B के लिए, x निर्देशांक -2 है, और y निर्देशांक 0 है। इसी प्रकार, बिंदु A के लिए निर्देशांक (2;3) होंगे।

यह ज्ञात है कि सीधी रेखा का रूप y = kx + b होता है। हम चयनित बिंदुओं के निर्देशांक को सामान्य रूप में समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, फिर बिंदु ए के लिए हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है: 3 = 2k + b। बिंदु B के लिए हमें एक और समीकरण मिलता है: 0 = -2k + b. जाहिर है, हमारे पास दो अज्ञातों के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली है: k और b।

फिर हम सिस्टम को किसी भी सुविधाजनक तरीके से हल करते हैं। हमारे मामले में, सिस्टम के समीकरणों को जोड़ना संभव है, क्योंकि अज्ञात k को दोनों समीकरणों में ऐसे गुणांकों के साथ शामिल किया गया है जो परिमाण में समान हैं लेकिन संकेत में विपरीत हैं। तब हमें 3 + 0 = 2k - 2k + b + b मिलता है, या, वही है: 3 = 2b। इस प्रकार बी = 3/2. K ज्ञात करने के लिए b के प्राप्त मान को किसी भी समीकरण में रखें। तब 0 = -2k + 3/2, k = 3/4.

आइए पाए गए k और b को सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करें और सीधी रेखा का वांछित समीकरण प्राप्त करें: y = 3x/4 + 3/2।

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टिप्पणी

गुणांक k को रेखा का ढलान कहा जाता है और यह रेखा और x-अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

दो बिंदुओं से एक सीधी रेखा खींची जा सकती है। इन बिंदुओं के निर्देशांक सीधी रेखा के समीकरण में "छिपे" हैं। समीकरण आपको रेखा के बारे में सभी रहस्य बताएगा: यह कैसे घूमती है, निर्देशांक तल के किस तरफ स्थित है, आदि।

निर्देश

अधिक बार इसे समतल में बनाने की आवश्यकता होती है। प्रत्येक बिंदु के दो निर्देशांक होंगे: x, y। समीकरण पर ध्यान दें, यह सामान्य रूप का पालन करता है: y=k*x ±b, जहां k, b मुक्त संख्याएं हैं, और y, x रेखा पर सभी बिंदुओं के समान निर्देशांक हैं, सामान्य समीकरण से वह y निर्देशांक ढूंढें जो आपको x निर्देशांक जानने के लिए आवश्यक है सबसे दिलचस्प बात यह है कि आप x निर्देशांक के लिए कोई भी मान चुन सकते हैं: ज्ञात संख्याओं की संपूर्ण अनंतता में से। इसके बाद, समीकरण में x प्रतिस्थापित करें और y ज्ञात करने के लिए इसे हल करें। उदाहरण। मान लीजिए समीकरण दिया गया है: y=4x-3. दो बिंदुओं के निर्देशांक के लिए कोई दो मान निकालें। उदाहरण के लिए, x1 = 1, x2 = 5. y निर्देशांक ज्ञात करने के लिए इन मानों को समीकरणों में रखें। y1 = 4*1 – 3 = 1. y2 = 4*5 – 3 = 17. हमें दो बिंदु A और B, A (1; 1) और B (5; 17) मिलते हैं।

आपको निर्देशांक अक्ष में पाए गए बिंदुओं को प्लॉट करना चाहिए, उन्हें जोड़ना चाहिए और समीकरण द्वारा वर्णित बिल्कुल सीधी रेखा देखनी चाहिए। एक सीधी रेखा बनाने के लिए, आपको कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में काम करने की आवश्यकता है। X और Y अक्ष बनाएं। प्रतिच्छेदन बिंदु पर मान को "शून्य" पर सेट करें। संख्याओं को अक्षों पर आलेखित करें।

निर्मित प्रणाली में, चरण 1 में पाए गए दो बिंदुओं को चिह्नित करें। संकेतित बिंदुओं को निर्धारित करने का सिद्धांत: बिंदु A के निर्देशांक x1 = 1, y1 = 1 हैं; एक्स-अक्ष पर संख्या 1 चुनें, वाई-अक्ष पर - संख्या 1। बिंदु ए इस बिंदु पर स्थित है, बिंदु बी मान x2 = 5, y2 = 17 द्वारा दिया गया है। सादृश्य से, बिंदु खोजें ग्राफ़ पर बी. एक सीधी रेखा बनाने के लिए A और B को जोड़ें।

विषय पर वीडियो

किसी फ़ंक्शन को इस प्रकार हल करना शब्द का प्रयोग गणित में नहीं किया जाता है। इस सूत्रीकरण को किसी विशिष्ट विशेषता को खोजने के लिए किसी दिए गए फ़ंक्शन पर कुछ क्रियाएं करने के साथ-साथ फ़ंक्शन का ग्राफ बनाने के लिए आवश्यक डेटा का पता लगाने के रूप में समझा जाना चाहिए।

निर्देश

आप एक अनुमानित आरेख पर विचार कर सकते हैं जिसके अनुसार फ़ंक्शन का व्यवहार उचित है और उसका ग्राफ़ बना सकते हैं।
फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें. निर्धारित करें कि फलन सम है या विषम। यदि आपको वांछित उत्तर मिल जाए, तो केवल आवश्यक अर्ध-अक्ष पर ही जारी रखें। निर्धारित करें कि क्या फ़ंक्शन आवधिक है। यदि उत्तर सकारात्मक है, तो केवल एक अवधि के लिए अध्ययन जारी रखें। बिंदु खोजें और इन बिंदुओं के आसपास उसका व्यवहार निर्धारित करें।

निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें। यदि वे मौजूद हैं तो उन्हें खोजें। एक्स्ट्रेमा और एकरसता अंतराल के लिए किसी फ़ंक्शन की जांच करने के लिए पहले व्युत्पन्न का उपयोग करें। उत्तलता, अवतलता और विभक्ति बिंदुओं के लिए दूसरे व्युत्पन्न का उपयोग करके एक अध्ययन भी करें। फ़ंक्शन को परिष्कृत करने के लिए बिंदुओं का चयन करें और उन पर फ़ंक्शन मानों की गणना करें। किए गए सभी अध्ययनों से प्राप्त परिणामों को ध्यान में रखते हुए, फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं।

0X अक्ष पर, विशिष्ट बिंदुओं की पहचान की जानी चाहिए: असंततता बिंदु, x = 0, फ़ंक्शन शून्य, चरम बिंदु, विभक्ति बिंदु। ये अनंतस्पर्शी फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक स्केच देंगे।

इसलिए, फ़ंक्शन y=((x^2)+1)/(x-1) के एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके, पहले व्युत्पन्न का उपयोग करके एक अध्ययन करें। फ़ंक्शन को y=x+1+2/(x-1) के रूप में फिर से लिखें। पहला व्युत्पन्न y'=1-2/((x-1)^2) के बराबर होगा।
पहले प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें: y'=0, (x-1)^2=2, परिणाम दो बिंदु होंगे: x1=1-sqrt2, x2=1+sqrt2। प्राप्त मानों को फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र पर चिह्नित करें (चित्र 1)।
प्रत्येक अंतराल पर अवकलज का चिह्न निर्धारित करें। "+" से "-" और "-" से "+" तक वैकल्पिक संकेतों के नियम के आधार पर, आप पाते हैं कि फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु x1=1-sqrt2 है, और न्यूनतम बिंदु x2=1+ है sqrt2. दूसरे व्युत्पन्न के चिह्न से भी यही निष्कर्ष निकाला जा सकता है।

संक्षेपऔर "रैखिक कार्य" विषय पर ज्ञान को व्यवस्थित करें:

• सूत्र y = kx+b, y = kx द्वारा दिए गए कार्यों के ग्राफ़ को पढ़ने और बनाने की क्षमता को समेकित करें;
• रैखिक कार्यों के ग्राफ़ की सापेक्ष स्थिति निर्धारित करने की क्षमता को समेकित करना;
• रैखिक कार्यों के ग्राफ़ के साथ काम करने में कौशल विकसित करना।

विकास करनाविश्लेषण करने, तुलना करने, निष्कर्ष निकालने की क्षमता। गणित में संज्ञानात्मक रुचि का विकास, सक्षम मौखिक गणितीय भाषण, निर्माण में सटीकता और सटीकता।

पालना पोसनाचौकसता, काम में स्वतंत्रता, जोड़ियों में काम करने की क्षमता।

उपकरण: रूलर, पेंसिल, टास्क कार्ड, रंगीन पेंसिलें।

पाठ प्रकार: सीखी गई सामग्री को समेकित करने पर पाठ।

शिक्षण योजना:

1. आयोजन का समय.
2. मौखिक कार्य. आत्म-परीक्षण और आत्म-मूल्यांकन के साथ गणितीय श्रुतलेख। ऐतिहासिक भ्रमण.
3. प्रशिक्षण अभ्यास.
4. स्वतंत्र काम।
5. पाठ सारांश.
6. गृहकार्य।

कक्षाओं के दौरान

1. पाठ का उद्देश्य बताएं।

पाठ का उद्देश्य "रैखिक कार्य" विषय पर ज्ञान को सारांशित और व्यवस्थित करना है।

2. आइए आपके सैद्धांतिक ज्ञान का परीक्षण करके शुरुआत करें।

- फ़ंक्शन को परिभाषित करें. एक स्वतंत्र चर क्या है? निर्भर चर?

- किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ को परिभाषित करें।

- एक रैखिक फलन की परिभाषा तैयार करें।

– एक रैखिक फलन का ग्राफ क्या है?

– एक रैखिक फलन का रेखांकन कैसे करें?

- प्रत्यक्ष आनुपातिकता की परिभाषा तैयार करें। ग्राफ क्या है? ग्राफ़ कैसे बनाएं? फ़ंक्शन y = kx का ग्राफ k > 0 और k के लिए निर्देशांक तल में कैसे स्थित है< 0?

आत्म-परीक्षण और आत्म-मूल्यांकन के साथ गणितीय श्रुतलेख।

चित्र देख कर सवालों के जवाब दें।

1) किस फ़ंक्शन का ग्राफ़ अनावश्यक है?

2) कौन सा चित्र प्रत्यक्ष आनुपातिकता का ग्राफ दिखाता है?

3) किस आकृति में एक रैखिक फलन के ग्राफ का ढलान ऋणात्मक है?

4) संख्या बी का चिह्न निर्धारित करें। (उत्तर को असमानता के रूप में लिखें)

कार्य की जाँच करना। रेटिंग.

जोड़े में काम।

उस गणितज्ञ का नाम समझें जिसने सबसे पहले फ़ंक्शन शब्द का प्रयोग किया था। ऐसा करने के लिए, दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनुरूप अक्षर को बक्सों में लिखें। शेष वर्ग में अक्षर C लिखें। इस अक्षर के अनुरूप फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ चित्र पूरा करें।

चित्र 1

चित्र 2

चित्र तीन

गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज, 1646-1716, जर्मन दार्शनिक, गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और भाषाविद्। उन्होंने और अंग्रेजी वैज्ञानिक आई. न्यूटन ने (एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से) गणित की एक महत्वपूर्ण शाखा - गणितीय विश्लेषण की नींव बनाई। लीबनिज़ ने कई अवधारणाएँ और प्रतीक पेश किए जो आज भी गणित में उपयोग किए जाते हैं।

3. 1. सूत्रों द्वारा निर्दिष्ट कार्यों को देखते हुए: y = x-5; y = 0.5x; y = – 2x; y = 4.

कार्यों को नाम दें. इनमें से कौन सा फ़ंक्शन बिंदु M (8;4) से होकर गुजरेगा, इसका ग्राफ़ इंगित करें। योजनाबद्ध रूप से दिखाएँ कि यदि आप उस पर बिंदु M से गुजरने वाले कार्यों के ग्राफ़ दर्शाते हैं तो चित्र कैसा दिखेगा।

2. प्रत्यक्ष आनुपातिकता का ग्राफ बिंदु C (2;1) से होकर गुजरता है। एक सूत्र लिखें जो प्रत्यक्ष आनुपातिकता निर्दिष्ट करता है। m के किस मान पर ग्राफ बिंदु B (-4;m) से होकर गुजरेगा।

3. y=1/2X द्वारा दिए गए फ़ंक्शन को ग्राफ़ करें। आप किसी दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ से सूत्र y=1/2X - 4 और y = 1/2X+3 द्वारा दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसे प्राप्त कर सकते हैं। परिणामी ग्राफ़ का विश्लेषण करें।

4. फ़ंक्शन सूत्रों द्वारा दिए गए हैं:

1) y= 4x+9 और y= 6x-5;
2) y=1/2x-3 और y=0.5x+2;
3) y= x और y= -5x+2.4;
4) y= 3x+6 और y= -2.5x+6.

फ़ंक्शन ग्राफ़ की सापेक्ष स्थिति क्या है? बिना कोई निर्माण किए, ग्राफ़ की पहली जोड़ी के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें। (आत्म परीक्षण)

4. जोड़ियों में स्वतंत्र कार्य। (एमएल पेपर पर प्रदर्शन किया गया)। अंतःविषय संचार.

फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाना और उसके उस हिस्से को उन बिंदुओं के लिए चुनना आवश्यक है जिनमें संबंधित असमानता है:

y = x + 6,	4 < एक्स < 6;
y = -x + 6,	-6 < एक्स < -4;
y = – 1/3 x + 10,	-6 < एक्स < -3;
y = 1/3 x +10,	3 < एक्स < 6;
y = -x + 14,	0 < एक्स < 3;
y = x + 14,	-3 < एक्स < 0;
y = 9x – 18,	2 < एक्स < 4;
y = – 9x – 18	-4 < एक्स < -2;
आप = 0,	-2 < एक्स < 2.

आपको किस प्रकार का चित्र मिला? ( ट्यूलिप.)

ट्यूलिप के बारे में थोड़ा:

ट्यूलिप की लगभग 120 प्रजातियाँ ज्ञात हैं, जो मुख्य रूप से मध्य, पूर्वी और दक्षिणी एशिया और दक्षिणी यूरोप में वितरित की जाती हैं। वनस्पतिशास्त्रियों का मानना ​​है कि ट्यूलिप संस्कृति की उत्पत्ति 12वीं शताब्दी में तुर्की में हुई थी, इस पौधे ने अपनी मातृभूमि हॉलैंड से दूर विश्व प्रसिद्धि प्राप्त की, जिसे सही मायनों में ट्यूलिप की भूमि कहा जाता है।

यहाँ ट्यूलिप के बारे में किंवदंती है। ख़ुशी पीले ट्यूलिप की सुनहरी कली में समाहित थी। इस खुशी तक कोई नहीं पहुंच सका, क्योंकि ऐसी कोई ताकत नहीं थी जो इसकी कली को खोल सके। लेकिन एक दिन एक महिला एक बच्चे के साथ घास के मैदान से गुजर रही थी। लड़का अपनी माँ की गोद से छूटकर हँसते हुए फूल के पास भागा और सुनहरी कली खिल गई। बच्चों की अल्हड़ हंसी ने वह कर दिखाया जो कोई ताकत नहीं कर सकी। तब से, ट्यूलिप केवल उन लोगों को देने का रिवाज बन गया है जिन्हें खुशी महसूस होती है।

रचनात्मक होमवर्क. खंडों से युक्त एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक चित्र बनाएं और उसका एक विश्लेषणात्मक मॉडल बनाएं।

6. स्वतंत्र कार्य. विभेदित कार्य (दो संस्करणों में)

विकल्प I:

फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाएं:

विकल्प II:

योजनाबद्ध रूप से उन कार्यों के ग्राफ़ बनाएं जिनके लिए निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

7. पाठ सारांश

किये गये कार्य का विश्लेषण। ग्रेडिंग.

मास्लोवा एंजेलिना

गणित में शोध कार्य। एंजेलिना ने एक रैखिक फ़ंक्शन का एक कंप्यूटर मॉडल संकलित किया, जिसका उपयोग उन्होंने अनुसंधान करने के लिए किया।

डाउनलोड करना:

पूर्व दर्शन:

निज़नी नोवगोरोड क्षेत्र के बोर के शहरी जिले के नगर स्वायत्त शैक्षणिक संस्थान माध्यमिक विद्यालय नंबर 8

कंप्यूटर विज्ञान और गणित में अनुसंधान कार्य

कक्षा 7ए की छात्रा एंजेलिना मास्लोवा द्वारा पूरा किया गया

प्रमुख: कंप्यूटर विज्ञान शिक्षक, वोरोनिना अन्ना अलेक्सेवना।

बोर का शहरी जिला - 2015

परिचय

1. स्प्रेडशीट में रैखिक कार्यों की खोज

निष्कर्ष

ग्रन्थसूची

परिचय

इस वर्ष बीजगणित के पाठों में हमें रैखिक फलनों से परिचित कराया गया। हमने एक रैखिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाना सीखा, यह निर्धारित किया कि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ उसके गुणांकों के आधार पर कैसे व्यवहार करना चाहिए। थोड़ी देर बाद, कंप्यूटर विज्ञान के एक पाठ में, हमें पता चला कि इन क्रियाओं को गणितीय मॉडलिंग माना जा सकता है। मैंने यह देखने का निर्णय लिया कि क्या स्प्रेडशीट का उपयोग करके एक रैखिक फ़ंक्शन का अध्ययन करना संभव है।

कार्य का लक्ष्य: स्प्रेडशीट में रैखिक फ़ंक्शन का अन्वेषण करें

अनुसंधान के उद्देश्य:

• एक रैखिक फलन के बारे में जानकारी ढूँढना और उसका अध्ययन करना;
• एक स्प्रेडशीट में एक रैखिक फ़ंक्शन का गणितीय मॉडल बनाएं;
• निर्मित मॉडल का उपयोग करके एक रैखिक फ़ंक्शन का पता लगाएं।

अध्ययन का उद्देश्य:गणित मॉडलिंग.

अध्ययन का विषय:एक रैखिक फ़ंक्शन का गणितीय मॉडल।

अनुभूति की एक विधि के रूप में मॉडलिंग

व्यक्ति अपने जन्म से ही लगभग संसार का अनुभव करता है। ऐसा करने के लिए, एक व्यक्ति उन मॉडलों का उपयोग करता है जो बहुत विविध हो सकते हैं।

नमूना एक नई वस्तु है जो वास्तविक वस्तु के कुछ आवश्यक गुणों को दर्शाती है।

वास्तविक वस्तुओं के मॉडल का उपयोग विभिन्न स्थितियों में किया जाता है:

1. जब कोई वस्तु बहुत बड़ी हो (उदाहरण के लिए, पृथ्वी एक मॉडल है: एक ग्लोब या एक नक्शा) या, इसके विपरीत, बहुत छोटी (एक जैविक कोशिका)।
2. जब वस्तु अपनी संरचना में बहुत जटिल हो (कार - मॉडल: बच्चों की कार)।
3. जब कोई वस्तु अध्ययन के लिए खतरनाक हो (ज्वालामुखी)।
4. जब वस्तु बहुत दूर हो.

मोडलिंग एक मॉडल बनाने और उसका अध्ययन करने की प्रक्रिया है।

हम स्वयं मॉडल बनाते और उपयोग करते हैं, कभी-कभी इसके बारे में सोचे बिना भी। उदाहरण के लिए, हम अपने जीवन की किसी घटना की तस्वीरें लेते हैं और फिर उन्हें अपने दोस्तों को दिखाते हैं।

जानकारी के प्रकार के आधार पर, सभी मॉडलों को कई समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

1. मौखिक मॉडल. ये मॉडल मौखिक या लिखित रूप में मौजूद हो सकते हैं। यह किसी वस्तु या कविता का सिर्फ मौखिक विवरण हो सकता है, या यह एक अखबार का लेख या निबंध हो सकता है - ये सभी मौखिक मॉडल हैं।
2. ग्राफिक मॉडल. ये हमारे चित्र, तस्वीरें, आरेख और ग्राफ़ हैं।
3. प्रतिष्ठित मॉडल. ये कुछ प्रतीकात्मक भाषा में लिखे गए मॉडल हैं: नोट्स, गणितीय, भौतिक या रासायनिक सूत्र।

रैखिक कार्य और उसके गुण

रैखिक प्रकार्यफॉर्म का एक फ़ंक्शन कहा जाता है

एक रैखिक फलन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है।

1 . किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए, हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित दो बिंदुओं के निर्देशांक की आवश्यकता है। उन्हें ढूंढने के लिए, आपको दो x मान लेने होंगे, उन्हें फ़ंक्शन समीकरण में प्रतिस्थापित करना होगा, और संबंधित y मानों की गणना करने के लिए उनका उपयोग करना होगा।

उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करना, लेने में सुविधाजनक और , तो इन बिंदुओं के निर्देशांक बराबर होंगेऔर ।

हमें अंक A(0;2) और B(3;3) मिलते हैं। आइए उन्हें कनेक्ट करें और फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्राप्त करें:

2 . फ़ंक्शन y=kx+b के समीकरण में, गुणांक k फ़ंक्शन ग्राफ़ के ढलान के लिए ज़िम्मेदार है:

गुणांक बी ओए अक्ष के साथ ग्राफ को स्थानांतरित करने के लिए जिम्मेदार है:

नीचे दिया गया चित्र फ़ंक्शंस के ग्राफ़ दिखाता है; ;

ध्यान दें कि इन सभी कार्यों में गुणांकदाहिनी ओर शून्य से बड़ा . इसके अलावा, मूल्य जितना अधिक होगा, सीधी रेखा जितनी तीव्र होती जाती है।

सभी कार्यों में- और हम देखते हैं कि सभी ग्राफ़ ओए अक्ष को बिंदु (0;3) पर काटते हैं

अब आइए फ़ंक्शंस के ग्राफ़ देखें; ;

इस बार सभी कार्यों में गुणांकशून्य से भी कम , और सभी फ़ंक्शन ग्राफ़ ढलान वाले हैंबाएं . गुणांक b समान है, b=3, और ग्राफ़, पिछले मामले की तरह, बिंदु (0;3) पर OY अक्ष को काटते हैं

आइए फ़ंक्शंस के ग्राफ़ देखें; ;

अब सभी फ़ंक्शन समीकरणों में गुणांकबराबर हैं। और हमें तीन समानांतर रेखाएँ मिलीं।

लेकिन गुणांक b भिन्न हैं, और ये ग्राफ़ OY अक्ष को विभिन्न बिंदुओं पर काटते हैं:

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ (बी=3) ओए अक्ष को बिंदु (0;3) पर काटता है

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ (बी=0) ओए अक्ष को बिंदु (0;0) - मूल बिंदु पर काटता है।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ (b=-2) ओए अक्ष को बिंदु (0;-2) पर प्रतिच्छेद करता है

इसलिए, यदि हम गुणांक k और b के चिह्न जानते हैं, तो हम तुरंत कल्पना कर सकते हैं कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिखता है.

यदि k 0, फिर फ़ंक्शन का ग्राफ़इसका रूप है:

यदि k>0 और b>0 , फिर फ़ंक्शन का ग्राफ़इसका रूप है:

यदि k>0 और b , फिर फ़ंक्शन का ग्राफ़इसका रूप है:

यदि के, फिर फ़ंक्शन का ग्राफ़इसका रूप है:

यदि k=0 , तो फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन में बदल जाता हैऔर इसका ग्राफ़ इस प्रकार दिखता है:

फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर सभी बिंदुओं के निर्देशांकबराबर

यदि b=0 , फिर फ़ंक्शन का ग्राफ़मूल से होकर गुजरता है:

4. दो रेखाओं की समानता के लिए शर्त:

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के समानांतर, अगर

5. दो सीधी रेखाओं की लंबवतता के लिए शर्त:

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लंबवत, मैं, के लिए

6 . फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुसमन्वय अक्षों के साथ.

ओए अक्ष के साथ. ओए अक्ष से संबंधित किसी भी बिंदु का भुज शून्य के बराबर है। इसलिए, ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के समीकरण में x के बजाय शून्य को प्रतिस्थापित करना होगा। हमें y=b मिलता है। अर्थात्, ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक (0; बी) हैं।

OX अक्ष के साथ: OX अक्ष से संबंधित किसी भी बिंदु की कोटि शून्य के बराबर होती है। इसलिए, OX अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के समीकरण में y के बजाय शून्य को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। हमें 0=kx+b मिलता है। यहाँ से. अर्थात्, OX अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक हैं (;0):

स्प्रेडशीट में रैखिक कार्यों की खोज

स्प्रेडशीट वातावरण में एक रैखिक फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए, मैंने निम्नलिखित एल्गोरिदम संकलित किया:

1. एक स्प्रेडशीट में एक रैखिक फ़ंक्शन का गणितीय मॉडल बनाएं।
2. तर्क और फ़ंक्शन मानों की ट्रेस तालिका भरें।
3. चार्ट विज़ार्ड का उपयोग करके एक रैखिक फ़ंक्शन प्लॉट करें।
4. गुणांकों के मानों के आधार पर रैखिक फ़ंक्शन का अन्वेषण करें।

रैखिक फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए, मैंने Microsoft Office Excel 2007 का उपयोग किया। मैंने तर्क और फ़ंक्शन मानों की तालिकाओं को संकलित करने के लिए सूत्रों का उपयोग किया। मुझे मूल्यों की निम्नलिखित तालिका मिली:

ऐसे गणितीय मॉडल का उपयोग करके, आप तालिका में गुणांकों के मानों को बदलकर एक रैखिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ में परिवर्तनों की आसानी से निगरानी कर सकते हैं।

इसके अलावा, स्प्रेडशीट का उपयोग करके, मैंने यह निगरानी करने का निर्णय लिया कि दो रैखिक कार्यों के ग्राफ़ की सापेक्ष स्थिति कैसे बदलती है। एक स्प्रेडशीट में एक नया गणितीय मॉडल बनाने के बाद, मुझे निम्नलिखित परिणाम मिला:

दो रैखिक कार्यों के गुणांकों को बदलकर, मैंने रैखिक कार्यों के गुणों के बारे में जो जानकारी सीखी थी उसकी वैधता के बारे में मैं स्पष्ट रूप से आश्वस्त था।

निष्कर्ष

बीजगणित में रैखिक फलन को सबसे सरल माना जाता है। लेकिन साथ ही इसमें कई गुण भी हैं जो तुरंत स्पष्ट नहीं हैं। स्प्रेडशीट में एक रैखिक फ़ंक्शन का गणितीय मॉडल बनाने और उसकी जांच करने के बाद, एक रैखिक फ़ंक्शन के गुण मेरे लिए और अधिक स्पष्ट हो गए। मैं स्पष्ट रूप से देख पा रहा था कि फ़ंक्शन के गुणांक बदलने पर ग्राफ़ कैसे बदलता है।

मुझे लगता है कि मेरे द्वारा बनाया गया गणितीय मॉडल सातवीं कक्षा के छात्रों को स्वतंत्र रूप से रैखिक फ़ंक्शन का पता लगाने और इसे बेहतर ढंग से समझने में मदद करेगा।

ग्रन्थसूची

1. 7वीं कक्षा के लिए बीजगणित पाठ्यपुस्तक।
2. 7वीं कक्षा के लिए कंप्यूटर विज्ञान की पाठ्यपुस्तक
3. विकिपीडिया.ओआरजी

पूर्व दर्शन:

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स्लाइड कैप्शन:

अध्ययन का उद्देश्य: रैखिक कार्य। शोध का विषय: एक रैखिक फलन का गणितीय मॉडल।

कार्य का उद्देश्य: स्प्रेडशीट में एक रैखिक फ़ंक्शन की जांच करना। अनुसंधान उद्देश्य: रैखिक फ़ंक्शन के बारे में जानकारी ढूंढना और उसका अध्ययन करना; एक स्प्रेडशीट में एक रैखिक फ़ंक्शन का गणितीय मॉडल बनाएं; निर्मित मॉडल का उपयोग करके एक रैखिक फ़ंक्शन का पता लगाएं।

एक रैखिक फ़ंक्शन y= k x+ b के रूप का एक फ़ंक्शन है, जहां x एक तर्क है, और k और b कुछ संख्याएं (गुणांक) हैं। एक रैखिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है।

एक फ़ंक्शन y=kx+b पर विचार करें जैसे कि k 0 , b=0 । देखें: y=kx एक समन्वय प्रणाली में हम इन कार्यों के ग्राफ़ बनाएंगे: y=3x y=x y=-7x हम प्रत्येक ग्राफ़ को संबंधित रंग x 0 1 y 0 3 x 0 1 y 0 1 x 0 1 के साथ बनाएंगे। य 0 7

y = k x के रूप के एक रैखिक फलन का ग्राफ मूल बिंदु से होकर गुजरता है। y=x y=3x y=-7x y x

निष्कर्ष: y = kx + b के रूप के एक रैखिक फलन का ग्राफ O Y अक्ष को बिंदु (0; b) पर प्रतिच्छेद करता है।

फ़ंक्शन y=kx+b पर विचार करें, जहां k=0. देखें: y=b एक समन्वय प्रणाली में फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाएं: y=4 y=-3 y=0 हम प्रत्येक ग्राफ़ को उचित रंग के साथ बनाते हैं

y = b के रूप के एक रैखिक फलन का ग्राफ OX अक्ष के समानांतर चलता है और O Y अक्ष को बिंदु (0; b) पर काटता है। y=4 y=-3 y=0 y x

एक समन्वय प्रणाली में, फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाएं: Y=2x Y=2x+ 3 Y=2x-4 हम प्रत्येक ग्राफ़ को उपयुक्त रंग x 0 1 y 0 2 x 0 1 y 3 5 x 0 1 y -4 -2 के साथ बनाते हैं।

यदि x के गुणांक समान हैं तो y=kx+b रूप के रैखिक कार्यों के ग्राफ़ समानांतर हैं। y =2x+ 3 y =2x y =2x-4 y x

एक समन्वय प्रणाली में हम कार्यों के ग्राफ़ बनाएंगे: y=3x+4 Y= - 2x+4 हम उचित रंग x 0 1 y 4 7 x 0 1 y 4 2 के साथ ग्राफ़ बनाएंगे

यदि x के गुणांक भिन्न हैं तो y=kx+b रूप के दो रैखिक फलनों के ग्राफ प्रतिच्छेद करते हैं। वाई एक्स

एक समन्वय प्रणाली में हम कार्यों के ग्राफ़ बनाएंगे: y=0, 5x-2 y=-2x-4 y= 4 x-1 y=- 0, 2 5 x- 3 x 0 4 y x 0 -2 y -4 0 x 0 4 y -2 0 x 0 1 y -1 3 x 0 - 4 y -3 -2

y=0, 5x-2 y=-2x-4 y= 4 x-1 y=- 0, 2 5 x- 3 y=kx+b रूप के दो रैखिक फलनों के ग्राफ परस्पर लंबवत हैं यदि का गुणनफल x का गुणांक "- 1" है।

इसलिए, गुणांक k को सीधी रेखा का ढलान कहा जाता है - फ़ंक्शन का ग्राफ y=kx+ b। यदि k 0 है, तो O X अक्ष पर ग्राफ़ के झुकाव का कोण न्यून कोण है। कार्य बढ़ जाता है. वाई एक्स वाई एक्स

स्प्रेडशीट

स्प्रेडशीट

रैखिक समीकरण बीजीय स्थिति ज्यामितीय व्युत्पत्ति y = k 1 x+ b 1 k 1 = k 2, b 1 ≠ b 2 y = k 2 x+ b 2 k 1 = k 2, b 1 = b 2 k 1 ≠ k 2 k 1 * से 2 = -1 रेखाएं समानांतर हैं रेखाएं संपाती हैं रेखाएं लंबवत हैं रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं

मेरे द्वारा बनाया गया गणितीय मॉडल सातवीं कक्षा के छात्रों को स्वतंत्र रूप से रैखिक फ़ंक्शन का पता लगाने और इसे बेहतर ढंग से समझने में मदद करेगा।