उदाहरणों को एक कॉलम में कैसे विभाजित करें। लम्बा विभाजन

स्कूल में इन क्रियाओं का सरल से जटिल तक अध्ययन किया जाता है। इसलिए, सरल उदाहरणों का उपयोग करके उपरोक्त कार्यों को करने के लिए एल्गोरिदम में महारत हासिल करना निश्चित रूप से आवश्यक है। ताकि बाद में दशमलव भिन्नों को एक कॉलम में विभाजित करने में कोई कठिनाई न हो। आख़िरकार, यह ऐसे कार्यों का सबसे कठिन संस्करण है।

इस विषय में लगातार अध्ययन की आवश्यकता है। ज्ञान में अंतराल यहां अस्वीकार्य है। यह सिद्धांत प्रत्येक छात्र को पहली कक्षा के पहले से ही सीखना चाहिए। इसलिए, यदि आप लगातार कई पाठ छोड़ते हैं, तो आपको सामग्री में स्वयं महारत हासिल करनी होगी। नहीं तो आगे चलकर न सिर्फ गणित, बल्कि इससे जुड़े अन्य विषयों में भी दिक्कत होगी।

गणित के सफल अध्ययन के लिए दूसरी शर्त यह है कि जोड़, घटाव और गुणा में महारत हासिल करने के बाद ही किसी कॉलम में भाग के उदाहरणों पर आगे बढ़ना है।

यदि किसी बच्चे ने गुणन सारणी नहीं सीखी है तो उसके लिए भाग देना कठिन होगा। वैसे, इसे पायथागॉरियन तालिका से सीखना बेहतर है। इसमें कुछ भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं है, और इस मामले में गुणन को पचाना आसान है।

किसी कॉलम में प्राकृत संख्याओं को कैसे गुणा किया जाता है?

यदि भाग और गुणा के कॉलम में उदाहरणों को हल करने में कठिनाई आ रही है, तो समस्या को गुणा से हल करना शुरू करना आवश्यक है। क्योंकि भाग गुणन का व्युत्क्रम है:

दो संख्याओं को गुणा करने से पहले आपको उन्हें ध्यान से देखना होगा। अधिक अंक (लंबा) वाला चुनें, पहले उसे लिखें। इसके नीचे दूसरा रखें. इसके अलावा, संबंधित श्रेणी के नंबर भी उसी श्रेणी के अंतर्गत होने चाहिए। अर्थात्, पहली संख्या का सबसे दाहिना अंक दूसरे के सबसे दायें अंक के ऊपर होना चाहिए।
दाईं ओर से प्रारंभ करते हुए, निचली संख्या के सबसे दाहिने अंक को शीर्ष संख्या के प्रत्येक अंक से गुणा करें। उत्तर को पंक्ति के नीचे लिखें ताकि उसका अंतिम अंक उस अंक के नीचे हो जिससे उसे गुणा किया गया था।
निचली संख्या के दूसरे अंक के साथ भी इसे दोहराएं। लेकिन गुणन के परिणाम को एक अंक बाईं ओर स्थानांतरित करना होगा। इस स्थिति में, इसका अंतिम अंक उस अंक के नीचे होगा जिससे इसे गुणा किया गया था।

इस गुणन को एक कॉलम में तब तक जारी रखें जब तक कि दूसरे गुणक में संख्याएँ समाप्त न हो जाएँ। अब इन्हें मोड़ने की जरूरत है. यह वांछित उत्तर होगा.

दशमलव भिन्नों को एक कॉलम में गुणा करने के लिए एल्गोरिदम

सबसे पहले, यह कल्पना की जानी चाहिए कि दशमलव भिन्न नहीं दिए गए हैं, बल्कि प्राकृतिक अंश दिए गए हैं। अर्थात्, उनमें से अल्पविराम हटा दें और फिर पिछले मामले में बताए अनुसार आगे बढ़ें।

अंतर तब शुरू होता है जब उत्तर लिखा जाता है। इस बिंदु पर, दोनों अंशों में दशमलव बिंदुओं के बाद की सभी संख्याओं को गिनना आवश्यक है। आपको उत्तर के अंत से उनमें से कितने को गिनना है और वहां अल्पविराम लगाना है।

इस एल्गोरिथम को एक उदाहरण से समझाना सुविधाजनक है: 0.25 x 0.33:

बाँटना सीखना कैसे शुरू करें?

किसी कॉलम में विभाजन के उदाहरणों को हल करने से पहले, उन संख्याओं के नाम याद रखना चाहिए जो विभाजन के उदाहरण में हैं। उनमें से पहला (जो विभाजित करता है) विभाज्य है। दूसरा (इससे विभाजित) एक भाजक है। उत्तर निजी है.

उसके बाद, एक साधारण रोजमर्रा के उदाहरण का उपयोग करके, हम इस गणितीय ऑपरेशन का सार समझाएंगे। उदाहरण के लिए, यदि आप 10 मिठाइयाँ लेते हैं, तो उन्हें माँ और पिताजी के बीच समान रूप से विभाजित करना आसान है। लेकिन क्या होगा यदि आपको उन्हें अपने माता-पिता और भाई को वितरित करने की आवश्यकता हो?

उसके बाद, आप विभाजन के नियमों से परिचित हो सकते हैं और विशिष्ट उदाहरणों के साथ उनमें महारत हासिल कर सकते हैं। पहले सरल, और फिर अधिक से अधिक जटिल की ओर बढ़ते हुए।

संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम

सबसे पहले, हम उन प्राकृतिक संख्याओं की प्रक्रिया प्रस्तुत करते हैं जो एकल-अंकीय संख्या से विभाज्य होती हैं। वे बहु-अंकीय भाजक या दशमलव भिन्न के लिए भी आधार होंगे। इसके बाद ही इसमें छोटे बदलाव करने की अपेक्षा की जाती है, लेकिन उस पर बाद में और अधिक जानकारी दी जाएगी:

किसी कॉलम में विभाजन करने से पहले, आपको यह पता लगाना होगा कि लाभांश और भाजक कहाँ हैं।
लाभांश लिखिए। इसके दाहिनी ओर एक विभाजक है।
अंतिम कोने के पास बाईं ओर और नीचे एक कोना बनाएं।
अपूर्ण लाभांश ज्ञात करें, अर्थात वह संख्या जो विभाजन के लिए न्यूनतम होगी। आमतौर पर इसमें एक अंक, अधिकतम दो अंक होते हैं।
वह संख्या चुनें जो उत्तर में सबसे पहले लिखी जाएगी। यह वह संख्या होनी चाहिए जितनी बार भाजक लाभांश में फिट बैठता है।
इस संख्या को भाजक से गुणा करने का परिणाम लिखिए।
इसे अपूर्ण भाजक के अंतर्गत लिखें। घटाव करना.
जो भाग पहले ही विभाजित हो चुका है उसके बाद पहला अंक शेष तक ले जाएं।
उत्तर फिर से उठाओ.
गुणा और घटाव दोहराएँ. यदि शेषफल शून्य है और लाभांश समाप्त हो गया है, तो उदाहरण पूरा हो गया है। अन्यथा, चरणों को दोहराएं: संख्या को ध्वस्त करें, संख्या चुनें, गुणा करें, घटाएं।

यदि भाजक में एक से अधिक अंक हों तो दीर्घ विभाजन को कैसे हल करें?

एल्गोरिथ्म स्वयं ऊपर वर्णित से पूरी तरह मेल खाता है। अंतर अपूर्ण लाभांश में अंकों की संख्या का होगा। अब उनमें से कम से कम दो होने चाहिए, लेकिन यदि वे भाजक से कम निकलते हैं, तो यह पहले तीन अंकों के साथ काम करना चाहिए।

इस विभाजन में एक और बारीकियां है. तथ्य यह है कि शेषफल और उससे प्राप्त अंक कभी-कभी भाजक द्वारा विभाज्य नहीं होते हैं। फिर इसे क्रम में एक और अंक देना माना जाता है। लेकिन साथ ही, उत्तर शून्य होना चाहिए। यदि तीन अंकों की संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित किया जाता है, तो दो से अधिक अंकों को ध्वस्त करने की आवश्यकता हो सकती है। फिर नियम पेश किया गया: उत्तर में शून्य नीचे दिए गए अंकों की संख्या से एक कम होना चाहिए।

आप उदाहरण - 12082:863 का उपयोग करके ऐसे विभाजन पर विचार कर सकते हैं।

इसमें अपूर्ण विभाज्य संख्या 1208 है। इसमें संख्या 863 को केवल एक बार रखा गया है। अत: प्रत्युत्तर में 1 लगाना और 1208 के नीचे 863 लिखना माना जाता है।
घटाने के बाद शेषफल 345 है।
उसके लिए आपको नंबर 2 को ध्वस्त करना होगा।
संख्या 3452 में 863 चार बार फिट बैठता है।
उत्तर में चार अवश्य लिखें। इसके अलावा, जब 4 से गुणा किया जाता है, तो यह संख्या प्राप्त होती है।
घटाने के बाद शेषफल शून्य है। यानी बंटवारा पूरा हो गया.

उदाहरण में उत्तर 14 है।

यदि लाभांश शून्य पर समाप्त हो तो क्या होगा?

या कुछ शून्य? इस स्थिति में, शून्य शेषफल प्राप्त होता है, और लाभांश में अभी भी शून्य होते हैं। निराशा न करें, सब कुछ जितना लगता है उससे कहीं अधिक आसान है। उत्तर में अविभाजित रहे सभी शून्यों को शामिल करना ही पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए, आपको 400 को 5 से विभाजित करना होगा। अधूरा लाभांश 40 है। इसमें पांच को 8 बार रखा गया है। इसका मतलब यह है कि उत्तर 8 लिखा जाना चाहिए। घटाने पर कोई शेष नहीं बचता। यानी विभाजन तो ख़त्म हो गया, लेकिन लाभांश में शून्य रह गया. इसे उत्तर में जोड़ना होगा. इस प्रकार, 400 को 5 से विभाजित करने पर 80 प्राप्त होता है।

यदि आपको दशमलव को विभाजित करने की आवश्यकता हो तो क्या होगा?

पुनः, यह संख्या एक प्राकृतिक संख्या की तरह दिखती है, यदि पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने वाला अल्पविराम न हो। इससे पता चलता है कि दशमलव भिन्नों को एक कॉलम में विभाजित करना ऊपर वर्णित के समान है।

एकमात्र अंतर अर्धविराम का होगा. ऐसा माना जाता है कि जैसे ही भिन्नात्मक भाग से पहला अंक हटा दिया जाता है, तुरंत इसका उत्तर दिया जाना चाहिए। इसे दूसरे तरीके से इस प्रकार भी कहा जा सकता है: पूर्णांक भाग का विभाजन समाप्त हो गया है - अल्पविराम लगाएं और समाधान को आगे जारी रखें।

दशमलव भिन्न वाले किसी स्तंभ में विभाजित करने के उदाहरणों को हल करते समय, आपको यह याद रखना होगा कि दशमलव बिंदु के बाद वाले भाग में किसी भी संख्या में शून्य निर्दिष्ट किए जा सकते हैं। कभी-कभी संख्याओं को अंत तक पूरा करने के लिए यह आवश्यक होता है।

दो दशमलव का विभाजन

यह जटिल लग सकता है. लेकिन केवल शुरुआत में. आख़िरकार, भिन्नों के एक कॉलम में प्राकृतिक संख्या से विभाजन कैसे किया जाए, यह पहले से ही स्पष्ट है। इसलिए, हमें इस उदाहरण को पहले से ही परिचित रूप में छोटा करने की आवश्यकता है।

इसे आसान बनाएं। यदि कार्य के लिए आवश्यक हो तो आपको दोनों अंशों को 10, 100, 1,000, या 10,000, या शायद दस लाख से गुणा करना होगा। गुणक का चयन इस आधार पर किया जाना चाहिए कि भाजक के दशमलव भाग में कितने शून्य हैं। यानी, परिणामस्वरूप, यह पता चलता है कि आपको एक भिन्न को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना होगा।

और यह सबसे खराब स्थिति में होगा. आख़िरकार, यह पता चल सकता है कि इस ऑपरेशन से लाभांश एक पूर्णांक बन जाता है। फिर भिन्नों के एक स्तंभ में विभाजन के साथ उदाहरण का समाधान सबसे सरल विकल्प में कम हो जाएगा: प्राकृतिक संख्याओं के साथ संचालन।

उदाहरण के तौर पर: 28.4 को 3.2 से विभाजित किया गया:

सबसे पहले, उन्हें 10 से गुणा किया जाना चाहिए, क्योंकि दूसरे नंबर में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है। गुणा करने पर 284 और 32 प्राप्त होंगे।
उन्हें विभाजित माना जाता है। और एक बार में पूरी संख्या 284 गुणा 32 होती है।
उत्तर के लिए पहली मिलान संख्या 8 है। इसे गुणा करने पर 256 प्राप्त होता है। शेषफल 28 है।
पूर्णांक भाग का विभाजन समाप्त हो गया है, और उत्तर में अल्पविराम लगाया जाना चाहिए।
शेष 0 तक ध्वस्त करें।
फिर से 8 लीजिए.
शेष: 24. इसमें एक और 0 जोड़ें.
अब आपको 7 लेने होंगे.
गुणनफल 224 है, शेषफल 16 है।
अन्य 0 को नष्ट करें। 5 लें और ठीक 160 प्राप्त करें। शेष 0 है।

विभाजन पूरा हुआ. 28.4:3.2 उदाहरण का परिणाम 8.875 है।

यदि भाजक 10, 100, 0.1, या 0.01 हो तो क्या होगा?

गुणन की तरह, यहाँ लंबे विभाजन की आवश्यकता नहीं है। अंकों की एक निश्चित संख्या के लिए अल्पविराम को सही दिशा में ले जाना ही पर्याप्त है। इसके अलावा, इस सिद्धांत के अनुसार, आप पूर्णांक और दशमलव भिन्न दोनों वाले उदाहरणों को हल कर सकते हैं।

इसलिए, यदि आपको 10, 100 या 1000 से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो भाजक में जितने शून्य हैं उतने अंकों से अल्पविराम को बाईं ओर ले जाया जाता है। अर्थात्, जब कोई संख्या 100 से विभाज्य हो, तो अल्पविराम को दो अंकों से बाईं ओर जाना चाहिए। यदि लाभांश एक प्राकृतिक संख्या है, तो यह माना जाता है कि अल्पविराम इसके अंत में है।

यह क्रिया वैसा ही परिणाम उत्पन्न करती है जैसे कि संख्या को 0.1, 0.01, या 0.001 से गुणा किया जाए। इन उदाहरणों में, अल्पविराम को भिन्नात्मक भाग की लंबाई के बराबर अंकों की संख्या से बाईं ओर भी ले जाया जाता है।

0.1 (आदि) से विभाजित करने या 10 (आदि) से गुणा करने पर, अल्पविराम को एक अंक (या दो, तीन, शून्य की संख्या या भिन्नात्मक भाग की लंबाई के आधार पर) से दाईं ओर जाना चाहिए।

यह ध्यान देने योग्य है कि लाभांश में दिए गए अंकों की संख्या पर्याप्त नहीं हो सकती है। फिर लुप्त शून्यों को बाईं ओर (पूर्णांक भाग में) या दाईं ओर (दशमलव बिंदु के बाद) निर्दिष्ट किया जा सकता है।

आवर्त भिन्नों का विभाजन

ऐसे में कॉलम में विभाजित करने पर आपको सटीक उत्तर नहीं मिल पाएगा. यदि किसी अवधि के साथ भिन्न का सामना हो तो उदाहरण को कैसे हल करें? यहां साधारण भिन्नों की ओर बढ़ना आवश्यक है। और फिर पहले अध्ययन किए गए नियमों के अनुसार उनका विभाजन करें।

उदाहरण के लिए, आपको 0, (3) को 0.6 से विभाजित करना होगा। पहला अंश आवर्ती है. इसे भिन्न 3/9 में परिवर्तित किया जाता है, जो घटाने के बाद 1/3 देगा। दूसरा अंश अंतिम दशमलव है. सामान्य को लिखना और भी आसान है: 6/10, जो 3/5 के बराबर है। साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम विभाजन को गुणन से और भाजक को किसी संख्या के व्युत्क्रम से बदलने का प्रावधान करता है। अर्थात्, उदाहरण 1/3 को 5/3 से गुणा करने तक सीमित है। उत्तर 5/9 है.

यदि उदाहरण में भिन्न भिन्न हैं...

फिर कई संभावित समाधान हैं. सबसे पहले, आप एक साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने का प्रयास कर सकते हैं। फिर उपरोक्त एल्गोरिथम के अनुसार पहले से ही दो दशमलव को विभाजित करें।

दूसरे, प्रत्येक अंतिम दशमलव भिन्न को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। यह हमेशा सुविधाजनक नहीं होता. अक्सर, ऐसे अंश बहुत बड़े हो जाते हैं। हाँ, और उत्तर बोझिल हैं। इसलिए, पहला दृष्टिकोण अधिक बेहतर माना जाता है।

बहु-अंकीय संख्याओं का विभाजन एक कॉलम में करना सबसे आसान है। स्तम्भ विभाजन भी कहा जाता है कोने का विभाजन.

इससे पहले कि हम एक कॉलम द्वारा विभाजन करना शुरू करें, आइए एक कॉलम द्वारा रिकॉर्डिंग विभाजन के स्वरूप पर विस्तार से विचार करें। सबसे पहले, हम लाभांश लिखते हैं और उसके दाईं ओर एक लंबवत पट्टी लगाते हैं:

ऊर्ध्वाधर रेखा के पीछे, लाभांश के विपरीत, हम भाजक लिखते हैं और उसके नीचे एक क्षैतिज रेखा खींचते हैं:

क्षैतिज रेखा के नीचे, गणना से उत्पन्न भागफल को चरणों में लिखा जाएगा:

लाभांश के अंतर्गत मध्यवर्ती गणनाएँ लिखी जाएंगी:

कॉलम द्वारा विभाजन का पूर्ण रूप इस प्रकार है:

एक कॉलम से कैसे विभाजित करें

मान लीजिए कि हमें 780 को 12 से विभाजित करना है, कार्रवाई को एक कॉलम में लिखना है और विभाजित करना शुरू करना है:

एक कॉलम द्वारा विभाजन चरणों में किया जाता है। पहली चीज़ जो हमें करने की ज़रूरत है वह है अपूर्ण लाभांश को परिभाषित करना। लाभांश का पहला अंक देखें:

यह संख्या 7 है, चूँकि यह भाजक से छोटी है, तो हम इससे भाग देना शुरू नहीं कर सकते, इसलिए हमें भाज्य से एक अंक और लेना होगा, संख्या 78 भाजक से बड़ी है, इसलिए हम इससे भाग देना शुरू करते हैं:

हमारे मामले में, संख्या 78 होगी अपूर्ण विभाज्य, इसे अपूर्ण इसलिए कहा जाता है क्योंकि यह विभाज्य का एक भाग मात्र है।

अपूर्ण लाभांश निर्धारित करने के बाद, हम यह पता लगा सकते हैं कि भागफल में कितने अंक होंगे, इसके लिए हमें यह गणना करने की आवश्यकता है कि अपूर्ण लाभांश के बाद लाभांश में कितने अंक बचे हैं, हमारे मामले में केवल एक अंक है - 0, जिसका अर्थ है कि भागफल 2 अंकों से मिलकर बनेगा।

किसी निजी अंक में कितने अंक आने चाहिए, इसका पता लगाने के बाद, आप उसके स्थान पर बिंदु लगा सकते हैं। यदि विभाजन के अंत में अंकों की संख्या संकेतित बिंदुओं से अधिक या कम निकली, तो कहीं न कहीं गलती हुई है:

आइये बांटना शुरू करें. हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि संख्या 78 में 12 कितनी बार समाहित है। ऐसा करने के लिए, हम विभाजक को प्राकृतिक संख्याओं 1, 2, 3, ... से क्रमिक रूप से गुणा करते हैं जब तक कि हमें अपूर्ण विभाज्य के जितना करीब संभव हो उतनी संख्या न मिल जाए या इसके बराबर, परंतु इससे अधिक नहीं। इस प्रकार, हमें संख्या 6 मिलती है, इसे भाजक के नीचे लिखें, और 78 में से 72 घटाएं (स्तंभ घटाव के नियमों के अनुसार) (12 6 = 72)। 78 में से 72 घटाने पर हमें 6 शेष प्राप्त हुआ:

कृपया ध्यान दें कि भाग का शेष भाग हमें दिखाता है कि हमने सही संख्या चुनी है या नहीं। यदि शेषफल भाजक के बराबर या उससे अधिक है, तो हमने सही संख्या नहीं चुनी है और हमें एक बड़ी संख्या लेने की आवश्यकता है।

परिणामी शेषफल - 6 के लिए, हम लाभांश के अगले अंक - 0 को हटा देते हैं। परिणामस्वरूप, हमें अपूर्ण लाभांश - 60 मिलता है। हम यह निर्धारित करते हैं कि संख्या 60 में 12 कितनी बार समाहित है। हमें संख्या 5 मिलती है, लिखें इसे संख्या 6 के बाद भागफल में डालें, और 60 में से 60 घटाएँ (12 5 = 60)। शेषफल शून्य है:

चूँकि लाभांश में कोई और अंक नहीं बचा है, इसका मतलब है कि 780 पूर्णतः 12 से विभाजित हो गया है। एक कॉलम द्वारा विभाजन करने के परिणामस्वरूप, हमें भागफल मिला - यह भाजक के नीचे लिखा गया है:

एक उदाहरण पर विचार करें जहां भागफल में शून्य प्राप्त होते हैं। मान लीजिए कि हमें 9027 को 9 से विभाजित करना है।

हम अपूर्ण लाभांश का निर्धारण करते हैं - यह संख्या 9 है। हम इसे भागफल 1 में लिखते हैं और 9 में से 9 घटाते हैं। शेष शून्य निकला। आमतौर पर, यदि मध्यवर्ती गणना में शेषफल शून्य है, तो इसे लिखा नहीं जाता है:

हम लाभांश के अगले अंक को ध्वस्त करते हैं - 0. हमें याद है कि शून्य को किसी भी संख्या से विभाजित करने पर शून्य होगा। हम मध्यवर्ती गणनाओं में निजी शून्य (0: 9 = 0) लिखते हैं और 0 में से 0 घटाते हैं। आमतौर पर, मध्यवर्ती गणनाओं को ढेर न करने के लिए, शून्य के साथ गणना नहीं लिखी जाती है:

हम लाभांश के अगले अंक को ध्वस्त करते हैं - 2। मध्यवर्ती गणना में, यह पता चला कि अपूर्ण लाभांश (2) भाजक (9) से कम है। इस मामले में, भागफल में शून्य लिखा जाता है और लाभांश का अगला अंक नीचे ले लिया जाता है:

हम यह निर्धारित करते हैं कि संख्या 27 में कितनी बार 9 समाहित है। हमें संख्या 3 मिलती है, इसे भागफल में लिखें, और 27 में से 27 घटाएँ। शेषफल शून्य है:

चूंकि लाभांश में कोई और अंक नहीं बचा है, इसका मतलब है कि संख्या 9027 पूरी तरह से 9 से विभाजित हो गई है:

एक उदाहरण पर विचार करें जहां लाभांश शून्य में समाप्त होता है। मान लीजिए कि हमें 3000 को 6 से विभाजित करना है।

हम अपूर्ण लाभांश का निर्धारण करते हैं - यह संख्या 30 है। हम इसे भागफल 5 में लिखते हैं और 30 में से 30 घटाते हैं। शेष शून्य है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, मध्यवर्ती गणनाओं में शेषफल में शून्य लिखना आवश्यक नहीं है:

हम लाभांश के अगले अंक को हटा देते हैं - 0. चूंकि शून्य को किसी भी संख्या से विभाजित करने पर शून्य होगा, हम इसे निजी शून्य में लिखते हैं और मध्यवर्ती गणना में 0 को 0 से घटाते हैं:

हम लाभांश के अगले अंक - 0 को हटा देते हैं। हम भागफल में एक और शून्य लिखते हैं और मध्यवर्ती गणना में 0 में से 0 घटाते हैं। गणना के बिल्कुल अंत में, यह आमतौर पर यह दिखाने के लिए लिखा जाता है कि विभाजन पूरा हो गया है:

चूंकि लाभांश में कोई और अंक नहीं बचा है, इसका मतलब है कि 3000 को 6 से पूर्णतः विभाजित किया गया है:

शेषफल के साथ एक स्तम्भ द्वारा विभाजन

मान लीजिए कि हमें 1340 को 23 से विभाजित करना है।

हम अपूर्ण लाभांश का निर्धारण करते हैं - यह संख्या 134 है। हम भागफल 5 में लिखते हैं और 134 में से 115 घटाते हैं। शेषफल 19 निकला:

हम लाभांश के अगले अंक को ध्वस्त करते हैं - 0. निर्धारित करें कि संख्या 190 में 23 कितनी बार समाहित है। हमें संख्या 8 मिलती है, इसे भागफल में लिखें, और 190 में से 184 घटाएँ। हमें शेष 6 मिलता है:

चूंकि लाभांश में कोई और अंक नहीं बचा है, इसलिए विभाजन समाप्त हो गया है। परिणाम 58 का अपूर्ण भागफल और 6 का शेषफल है:

1340: 23 = 58 (शेष 6)

शेषफल के साथ विभाजन के एक उदाहरण पर विचार करना बाकी है, जब लाभांश भाजक से कम हो। मान लीजिए हमें 3 को 10 से विभाजित करने की आवश्यकता है। हम देखते हैं कि 10 कभी भी संख्या 3 में समाहित नहीं होता है, इसलिए हम इसे भागफल 0 में लिखते हैं और 3 से 0 घटाते हैं (10 0 = 0)। हम एक क्षैतिज रेखा खींचते हैं और शेषफल लिखते हैं - 3:

3:10 = 0 (शेष 3)

कॉलम डिवीजन कैलकुलेटर

यह कैलकुलेटर आपको एक कॉलम द्वारा विभाजन करने में मदद करेगा। बस लाभांश और भाजक दर्ज करें और गणना बटन पर क्लिक करें।

आपको चाहिये होगा:

गणित की मूल बातें

सबसे पहले, सुनिश्चित करें कि आपके बच्चे ने सरल ऑपरेशनों में महारत हासिल कर ली है: जोड़, घटाव, गुणा। इन बुनियादी बातों के बिना, उसके लिए विभाजन को समझना मुश्किल होगा।

यदि आपको ज्ञान में कोई कमी दिखे तो पिछली सामग्री को दोहराएँ।

विभाजन सिद्धांत

विभाजन एल्गोरिथ्म की व्याख्या के साथ आगे बढ़ने से पहले, बच्चे को प्रक्रिया की समझ बनानी चाहिए।

छोटे छात्र को समझाएं कि "विभाजन" एक पूरे का समान भागों में विभाजन है।

पेंसिलों का एक बॉक्स लें जो एक पूरे के रूप में कार्य करेगा (आप कोई भी वस्तु ले सकते हैं - क्यूब्स, माचिस, सेब, आदि), और बच्चे को उन्हें आपके और आपके बीच समान रूप से विभाजित करने के लिए आमंत्रित करें। फिर, उससे गिनने के लिए कहें कि मूल रूप से बॉक्स में कितनी पेंसिलें थीं और उसने प्रत्येक को कितनी पेंसिलें वितरित कीं।

जैसे-जैसे बच्चा समझता है, वस्तुओं की संख्या और प्रतिभागियों की संख्या बढ़ाएँ। इसके अलावा, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समान रूप से विभाजित करना हमेशा संभव नहीं होता है और कुछ वस्तुएं "किसी व्यक्ति की नहीं" रहती हैं। उदाहरण के लिए, दादी, दादा, पिताजी और माँ के बीच 9 नाशपाती बाँटने की पेशकश करें। बच्चे को सीखना चाहिए कि हर किसी को 2 नाशपाती मिलेंगी, और एक शेष राशि में होगी।

गुणन सारणी के साथ संबंध

अपने बच्चे को दिखाएँ कि "विभाजन" "गुणा करना" के विपरीत है।

गुणन तालिका लें और छात्र को दोनों संक्रियाओं के बीच संबंध दिखाएं।
उदाहरण के लिए, 4x5=20. अपने बच्चे को याद दिलाएँ कि संख्या 20 दो संख्याओं 4 और 5 का गुणनफल है।
फिर, दृश्य रूप से दिखाएँ कि विभाजन विपरीत प्रक्रिया है: 20/5=4, 20/4=5।

बच्चे पर ध्यान दें कि सही उत्तर हमेशा एक ऐसा कारक होगा जो विभाजन में शामिल नहीं है।

अन्य उदाहरण खोजें.

यदि आपका बच्चा गुणन सारणी को अच्छी तरह से जानता है, और दो गणितीय संक्रियाओं के बीच संबंध को समझता है, तो वह आसानी से भाग में महारत हासिल कर लेगा। इसे उल्टे क्रम में याद करना आपकी पसंद है।

अवधारणाओं की परिभाषा

कक्षाएं शुरू करने से पहले, विभाजन प्रक्रिया में शामिल तत्वों के नाम पहचानें और जानें।

"लाभांश"विभाजित की जाने वाली संख्या है.

"विभाजक" -यह वह संख्या है जिससे "लाभांश" को विभाजित किया जाता है।

"निजी"वह परिणाम है जो हमें गणना की प्रक्रिया में मिलता है।

स्पष्टता के लिए, आप एक उदाहरण दे सकते हैं:

अपने बेटे/बेटी के जन्मदिन पर, आपने बच्चे को उसके दोस्तों को खिलाने के लिए 96 मिठाइयाँ खरीदीं। कुल आमंत्रित सदस्य- 8.

बता दें कि 96 कैंडीज का बैग "विभाजित" है। आठ बच्चे - "विभाजक"। और प्रत्येक बच्चे को मिलने वाली मिठाइयों की संख्या "निजी" है।

शेषफल के बिना एक स्तंभ में विभाजन के लिए एल्गोरिदम

अब मिठाई के बारे में एक उदाहरण का उपयोग करके बच्चे को गणना एल्गोरिदम दिखाएं।

कागज/नोटबुक की एक खाली शीट लें और संख्याएँ 96 और 8 लिखें।
उन्हें लंबवत रेखाओं से अलग करें।

तत्वों को स्पष्ट रूप से दिखाएँ.
इंगित करें कि गणना का परिणाम "भाजक" के अंतर्गत लिखा गया है, और गणना - "लाभांश" के अंतर्गत लिखा गया है।
एक युवा छात्र को संख्या 96 को देखने और 8 से बड़ी संख्या निर्धारित करने के लिए आमंत्रित करें।
दो संख्याओं 9 और 6 में से यह संख्या 9 होगी।
बच्चे से पूछें कि 9 में 8 कितने अंक "फिट" हो सकते हैं। बच्चा, गुणन सारणी को याद करते हुए, आसानी से केवल एक बार ही निर्धारित कर पाएगा। इसलिए अंडरस्कोर के नीचे नंबर 1 लिखें.
इसके बाद, विभाजक 8 को परिणाम 1 से गुणा करें। परिणामी संख्या 8 को विभाज्य संख्या के पहले अंक के नीचे लिखें।
उनके बीच, "घटाव" चिह्न लगाएं, और योग करें। यानी, यदि आप 9 में से 8 घटाते हैं, तो आपको 1 मिलता है। परिणाम लिखिए।

इस बिंदु पर, अपने बच्चे को समझाएं कि घटाने का परिणाम हमेशा भाजक से कम होना चाहिए। यदि यह विपरीत हो गया, तो बच्चे ने गलत तरीके से निर्धारित किया कि 9 में कितने 8 शामिल हैं।

बच्चे से दोबारा वह संख्या निर्धारित करने के लिए कहें जो भाजक 8 से बड़ी हो। जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 1, 8 से छोटी है। इसलिए, हमें इसे विभाज्य संख्या के अगले अंक - 6 के साथ जोड़ना चाहिए।
एक में 6 जोड़ें और 16 प्राप्त करें।
इसके बाद, बच्चे से पूछें कि 16 में कितने 8 हैं। सही उत्तर 2 को पहले में जोड़ें।

8 को फिर से 2 से गुणा करें। परिणाम को संख्या 16 के नीचे लिखें।
"घटाने" (16-16) से हमें 0 मिलता है, जिसका अर्थ है कि हमारी गणना का परिणाम 12 है।

एक कॉलम और दिमाग में विभाजन की मूल बातें, बच्चे प्राथमिक विद्यालय में पढ़ते हैं: तीसरी या चौथी कक्षा में। लेकिन तीसरी कक्षा के सभी छात्र जल्दी और आसानी से सामग्री में नहीं उतर पाते। घर पर, आपको बहुत अभ्यास करने, प्रशिक्षण उदाहरणों को हल करने की आवश्यकता है। लेकिन सबसे पहले, बच्चों के ज्ञान में अंतराल की पहचान करने के लिए, एक कोने से विभाजन को शेष के साथ फिर से समझाना बेहतर है।

विशेष प्रशिक्षण के बिना सुपर टीचर कैसे बनें और इस कठिन विषय में एक बच्चे की मदद कैसे करें, हम आपको अधिक विस्तार से बताएंगे।

कॉलम शेयर करना कैसे सीखें

किसी शेषफल सहित और उसके बिना किसी स्तम्भ द्वारा विभाजन बिना तैयारी के शुरू नहीं किया जा सकता। सबसे पहले, बच्चे को निम्नलिखित के बारे में अच्छी तरह से सक्षम और जागरूक होना चाहिए:

स्वचालितता के लिए सभी संकेतित कौशलों का अभ्यास करें। फिर उदाहरण के तौर पर मानसिक गुणन तालिका का उपयोग करके छोटी संख्याओं को विभाजित करने के लिए आगे बढ़ें। उदाहरण के लिए, एक बच्चे ने सीखा कि संख्या 6 को कैसे गुणा किया जाए:

बेझिझक उदाहरण पेश करें जैसे:

कुछ पाठों के बाद विद्यार्थी ऐसे कार्य आसानी से कर लेगा। आप विभाजन खेलों के साथ अपने मानसिक गिनती पाठों में विविधता ला सकते हैं।

एक नोट पर! सभी प्रारंभिक गणितीय कौशल ऑनलाइन परीक्षणों की मदद से अच्छी तरह से स्वचालित हो जाते हैं, जहां बच्चे को अपने काम का तुरंत परिणाम मिलता है।

खेल कार्य

दिलचस्प गणितीय विभाजन खेल बच्चों को कौशल को मजबूत करने, संख्याओं के साथ काम करने के नियम सीखने, मानसिक गिनती में महारत हासिल करने में मदद करते हैं।

ध्यान के विकास के लिए पहेलियाँ। अपनी नोटबुक में प्रति भाग 3-5 उदाहरण उत्तर सहित लिखें। एक को छोड़कर सभी को गलत तरीके से हल किया जाना चाहिए। आपको तुरंत वह उदाहरण ढूंढना होगा जिसमें सही उत्तर हो। फिर बाकी को मानसिक गणना से ठीक करें।
परिणाम के आधार पर एक उदाहरण का चयन. बच्चे को बिना किसी उदाहरण के उत्तर दें। चलो एक काम लेकर आते हैं. उदाहरण के लिए, उत्तर 8 है। बच्चा निम्नलिखित समस्या लेकर आ सकता है: 48:6।
"चलो, दुकान पर चलो।" ताश के पत्तों वाले खिलौनों को फर्श पर रखें। उदाहरण शीटों पर लिखे गए हैं: 6:2, 18:3, 42:7, 100:50। खिलौने फंतासी स्टोर में "सामान" हैं, उदाहरण को हल करने के बाद भागफल उनकी कीमत है। खरीदारी की लागत का पता लगाने के लिए, आपको कार्यों को हल करना होगा, और फिर कैशियर को परिणाम का भुगतान करना होगा। एक छोटी टीम में खेलना बेहतर है - 2-3 लोग।
"चुपचाप"। बच्चे को 1 से 100 तक की संख्याओं वाले कार्ड मिलते हैं। विभाजन के उदाहरणों के साथ प्रश्न पूछें, छात्र को सही उत्तर दिखाते हुए बिना शब्दों के उत्तर देना होगा।
छोटा स्वतंत्र कामपरिश्रम के लिए उपहार के साथ. 5-10 नमूना कार्ड प्रिंट करें। समाधान के लिए समय निर्दिष्ट करें, उदाहरण के लिए 5 मिनट। अपने बच्चे के सामने एक घंटे का चश्मा रखें। नियंत्रण सही ढंग से पूरा करने के बाद, छात्र को चिड़ियाघर, सिनेमा जाने, किताब खरीदने, मिठाइयाँ खरीदने के लिए प्रोत्साहित करें।
"एक पेड़ की तलाश में।" कार्डबोर्ड पर पेड़ों वाला एक छोटा बगीचा बनाएं। प्रत्येक पौधे को एक संख्या दें, मान लें कि उनकी संख्या 10 हो। छात्र के लिए कागज के एक टुकड़े पर 3 उदाहरण लिखें:

45:9 120:60 14:7

छात्र को प्रत्येक कार्य के लिए परिणाम की गणना करनी होगी, और फिर सभी संख्याओं को एक साथ जोड़ना होगा। यह इस प्रकार निकलेगा:

बच्चे को 9वें नंबर पर पेड़ ढूंढना होगा।

खेल के लिए, आप रंगीन बटनों का उपयोग कर सकते हैं और उन्हें व्यस्त पेड़ों पर लगा सकते हैं। टीम प्रतियोगिताओं के लिए उपयुक्त मनोरंजन।

प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन के साथ मौखिक कार्य के बाद, आप बच्चे को वह क्रम दिखा सकते हैं जिसमें उदाहरण एक कॉलम में लिखे गए हैं। यदि आपके पास शैक्षणिक अनुभव नहीं है, तो इस विषय पर एक वीडियो पाठ देखें, सिद्धांत को स्वयं याद रखें।

अब आप विद्यार्थी को जटिल सामग्री समझाना शुरू कर सकते हैं। गृह शिक्षण प्रभाग के लिए कई विधियाँ हैं:

1. गुरु माता

माता-पिता को कुछ समय के लिए शिक्षक बनना होगा। बोर्ड सुसज्जित करें, चॉक या मार्कर खरीदें। स्कूली सामग्री को पहले से याद कर लें। सिद्धांत को चरण दर चरण समझाएं और इसकी सहायता से व्यवहार में समेकित करें एक लंबी संख्यास्वतंत्र, कार्ड, नियंत्रण कार्य।

2. अपने बच्चे के साथ एक शैक्षिक वीडियो देखें

उदाहरण के लिए, यह:

फिर आपको बच्चे के साथ सामग्री पर चर्चा करने, कई हफ्तों तक अभ्यास में कौशल को मजबूत करने की आवश्यकता है।

3. एक ट्यूटर नियुक्त करें

स्कूली पाठ्यक्रम में डिवीजन सबसे कठिन विषय नहीं है। प्रारंभिक कक्षाओं में, आप शिक्षक के साथ बिना भुगतान किए पाठ आसानी से कर सकते हैं। हम इस विकल्प को अंतिम उपाय के रूप में छोड़ते हैं।

एक नोट पर! विभाजन की तुलना गुणन से करना सुनिश्चित करें। दोनों क्रियाओं के परिणाम को विपरीत से जांचें।

कॉलम डिवीजन को कैसे समझाएं

सबसे पहले, यह एक सरल उदाहरण के साथ समझदारी से समझाने लायक है कि विभाजन क्या है। गणितीय संक्रिया का सार संख्या को समान रूप से विघटित करना है। तीसरी कक्षा में, बच्चे उपलब्ध उदाहरणों से अच्छी तरह सीखते हैं: वे मेहमानों को केक के टुकड़े वितरित करते हैं, वे गुड़िया को 2 कारों में बिठाते हैं।

जब बच्चा विभाजन का सार सीख लेता है, तो शीट पर उसका रिकॉर्ड दिखाएँ। अभाज्य संख्याओं वाले पहले से ही परिचित कार्यों का उपयोग करें:

सबसे पहले, कार्य को सामान्य तरीके से लिखें: 250:2=?
प्रत्येक संख्या को एक नाम दें: 250 लाभांश है, 2 भाजक है, समान चिह्न के बाद का परिणाम भागफल है।
फिर एक कॉलम (कोने) में संक्षिप्त प्रविष्टि करें:

इस तरह एक साथ बहस करें: पहले हमें एक अधूरा भागफल मिलता है। यह 2 होगा, क्योंकि यह भाजक से कम नहीं है, या यूँ कहें कि इसके बराबर है। इस संख्या में एक भाजक रखा जाता है, जिसका अर्थ है कि हम संख्या 1 को भागफल में लिखते हैं और इसे 2 से गुणा करते हैं। हम प्राप्त परिणाम को लाभांश के अंतर्गत दर्ज करते हैं। हम 2-2 घटाते हैं. यह शून्य हो जाएगा, इसलिए हम अगली संख्या को हटा देते हैं और फिर से भागफल की तलाश करते हैं। हम शून्य प्राप्त होने तक गणितीय संक्रिया करते हैं।
अंतिम परिणाम प्राप्त करने के बाद, गुणन का उपयोग करके जाँच करें: 125x2=250।

यह सलाह दी जाती है कि तीसरी कक्षा के छात्र को गणना की प्रक्रिया में ज़ोर से तर्क करना, ड्राफ्ट पर कार्रवाई करना सिखाना चाहिए। सबसे पहले, एल्गोरिथम को एक साथ बोलें, फिर छात्र की बात सुनें और गलतियों को सुधारने में मदद करें।

एक नोट पर! अपने बच्चे को लगातार खुद की जांच करना सिखाएं। विद्यार्थी को यह समझना चाहिए कि विभाजन कॉलम में घटाव के शेष का मान हमेशा भाजक से कम होना चाहिए।

एक ही संख्या से विभाजन

कागज का एक टुकड़ा और एक कलम लें और अपने बच्चे को अपने बगल में बैठाएँ। सबसे पहले, स्वयं एक कोने का उदाहरण लिखें। एक अंक से विभाजित करने के लिए, ऐसी संख्याएँ चुनें जो बिना किसी शेषफल (पूर्ण उत्तर) के परिणाम देती हैं।

पहला पाठ इस प्रकार बनाया जा सकता है:

बच्चे के सामने एक कॉलम में विभाजन के नमूने वाला चित्र लगाएं।
अपना स्वयं का उदाहरण लेकर आएं। इसे 254:2 होने दें
कार्य को एक कोने में लिखना होगा। इसे छात्र पर छोड़ दें. वह तस्वीर में देख सकते हैं कि रिकॉर्डिंग कैसे की गई है.
तीसरी कक्षा के विद्यार्थी से पूछें: "पहले किस संख्या को 2 से विभाजित किया जाना चाहिए?" इस बिंदु पर, यह समझाना महत्वपूर्ण है कि लाभांश विभाजक के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए। बच्चा भाग के लिए दिए गए आंकड़े में से पहला नंबर चुनेगा: 2 … 54
अब एक साथ निर्धारित करें कि संख्या 2 में कितने दो फिट होंगे। उत्तर: 1.
हम कोने के नीचे निजी लिखते हैं।
1 को 2 से गुणा करें और परिणाम को लाभांश के अंतर्गत लिखें।
घटाना.
चूँकि यह 0 निकला, हम घटाने के बाद पंक्ति के नीचे अगला अंक हटा देते हैं: 5.
हम फिर से प्रश्न पूछते हैं: "5 में कितने दो फिट होंगे?" बच्चा गुणन सारणी को याद रखता है या तर्क का उपयोग करके भागफल का चयन करता है। उत्तर: 2.
2 को भागफल के रूप में लिखें, 2 से गुणा करें।
परिणाम (4) 5 के अंतर्गत लिखा गया है।
हम ले जाते हैं.
यह 1 रहता है। एक को 2 से विभाजित नहीं किया जा सकता है, इसलिए हम लाभांश के शेष को नीचे गिरा देते हैं। यह 14 निकला।
हम 14 को 2 से विभाजित करते हैं। हम निजी 7 लिखते हैं।
2 से गुणा करें। पंक्ति 14 के नीचे लिखें।
हम ले जाते हैं.
अंतिम परिणाम हमेशा 0 होना चाहिए.
परिणामस्वरूप, बच्चे के पास निम्नलिखित रिकॉर्ड होगा:

समेकित करने के लिए, कागज के एक ही टुकड़े पर प्रति भाग 3-5 और उदाहरण लिखें। विद्यार्थी से दूर न जाएं, नमूना न छिपाएं, पाठ को परीक्षा में न बदलें। बच्चा अभी साझा करना सीख रहा है। इस स्तर पर, उसका आत्मविश्वास बढ़ाने के लिए उसकी मदद करें, संकेत दें और उसे सही निर्णय लेने के लिए प्रेरित करें।

एक नोट पर! एक कॉलम द्वारा विभाजित करने के कौशल को स्वचालित करने के लिए, आप एक छोटा मेमो बना सकते हैं जहां गणितीय क्रिया का प्रत्येक चरण लिखा होता है। विद्यार्थी को तब तक इसे देखने दें जब तक वह स्वयं नमूने के बारे में भूल न जाए।

दो अंकों से विभाजन

जब तीसरी कक्षा का कोई छात्र एक संख्या से भाग देने में महारत हासिल कर लेता है, तो आप अगले चरण पर आगे बढ़ सकते हैं - दोहरे अंकों वाली संख्याओं के साथ काम करना। सरल, स्पष्ट उदाहरणों से शुरुआत करें ताकि बच्चा क्रियाओं के एल्गोरिदम को समझ सके। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 196 और 28 लें और सिद्धांत समझाएँ:

सबसे पहले, उत्तर के लिए एक अनुमानित संख्या चुनें. ऐसा करने के लिए, पता लगाएं कि 28 में से लगभग कितने अंक 196 में फिट होंगे। सुविधा के लिए, आप दोनों संख्याओं को 200:30 तक पूर्णांकित कर सकते हैं। यह 6 से अधिक नहीं निकलेगा। परिणामी संख्या को लिखने की आवश्यकता नहीं है, यह केवल एक अनुमान है।
हम परिणाम को 28x6 से गुणा करके जांचते हैं। यह 196 निकला। धारणाएँ सही निकलीं।
उत्तर लिखें: 196:28 =6.

एक और सीखने का विकल्प: एक कोने के साथ दो अंकों की संख्या से विभाजित करना। यह विधि चार अंकों, यानी हजारों की संख्याओं के साथ काम करने के लिए अधिक उपयुक्त है। ये रहा एक सरल उदाहरण:

कागज के एक टुकड़े पर 4070 लिखें, एक कोना बनाएं और भाजक - 74 पर हस्ताक्षर करें।
निर्धारित करें कि आप किस संख्या से भाग देना शुरू करेंगे। अपने बच्चे से पूछें कि क्या 4 को 74, 40 से विभाजित किया जा सकता है? नतीजतन, बच्चा समझ जाएगा कि पहले आपको खुद को संख्या 407 तक सीमित रखने की आवश्यकता है। ऊपर से परिणामी आकृति को अर्धवृत्त में रेखांकित करें। 0 छूट जायेगा.
अब हमें यह पता लगाना है कि 407 में कितने 74 फिट होंगे। हम तर्क और गुणन जांच की मदद से कार्य करते हैं। यह 5 निकला। हम परिणाम को कोने के नीचे (विभाजक के नीचे) लिखते हैं।
अब हम 74 को 5 से गुणा करते हैं और परिणाम को लाभांश के अंतर्गत लिखते हैं। यह 370 निकलेगा। बाईं ओर पहले नंबर से रिकॉर्डिंग शुरू करना महत्वपूर्ण है।
रिकॉर्डिंग के बाद, आपको एक क्षैतिज रेखा खींचनी होगी और 407 में से 370 घटाना होगा। आपको 37 मिलेगा।
37 को 74 से विभाजित नहीं किया जा सकता है, इसलिए शीर्ष पंक्ति में शेष 0 को ध्वस्त कर दिया गया है।
अब हम 370 को 74 से विभाजित करते हैं। हम गुणनखंड (5) का चयन करते हैं और इसे कोने के नीचे लिखते हैं।
हम 5 को 74 से गुणा करते हैं, परिणाम को एक कॉलम में लिखते हैं। 370 प्राप्त करें.
फिर से हमें अंतर मिलता है। परिणाम 0 होगा। इसका मतलब है कि विभाजन को बिना किसी शेष के पूर्ण माना जाता है। 4070:74=55. कोने पर निजी नजर.

समाधान की शुद्धता की जांच करने के लिए, गुणा करें: 74x55=4070।

एक राय है! कई माता-पिता घर में जीडीजेड के साथ समाधान पुस्तिका रखना अस्वीकार्य मानते हैं। परन्तु सफलता नहीं मिली। तैयार कार्यों की मदद से बच्चा आसानी से खुद को परख सकता है। मुख्य बात यह है कि छात्र को उत्तरों के साथ डीजेड के संग्रह का उद्देश्य सही ढंग से समझाया जाए।

बहु-अंकीय संख्याएँ

बच्चों के लिए सबसे कठिन कार्य तीन अंकों और चार अंकों की संख्याओं के कार्य हैं। चौथी कक्षा के छात्र के लिए हजारों और सैकड़ों हजारों के साथ काम करना मुश्किल है। विद्यार्थी को निम्नलिखित समस्याएँ हैं:

पहली कार्रवाई के लिए लाभांश की आंशिक संख्या निर्धारित नहीं कर सकता। प्राकृतिक संख्याओं के अंकों के अध्ययन पर लौटें, बच्चे के ध्यान के विकास पर काम करें।
निजी प्रविष्टि में 0 छोड़ देता है। यह सबसे आम समस्या है. परिणामस्वरूप, बच्चे को सही संख्या से कुछ अंक कम संख्या मिलती है। इस त्रुटि से बचने के लिए, आपको उन उदाहरणों में क्रियाओं के अनुक्रम के साथ एक मेमो प्रिंट करना होगा जहां भागफल के बीच में शून्य हैं। कौशल का अभ्यास करने के लिए अपने बच्चे को ऐसे कार्यों के साथ एक सिम्युलेटर प्रदान करें।

बड़ी संख्याओं के साथ समस्याओं को हल करना सीखते समय, चरणों में आगे बढ़ें:

बताएं कि अपूर्ण लाभांश क्या है और इसे अलग क्यों किया जाना चाहिए।
आगे की समस्या को हल किए बिना मौखिक रूप से विभाज्य को खोजने का अभ्यास करें। उदाहरण के लिए, बच्चों को निम्नलिखित कार्य दें:

उदाहरणों में अपूर्ण भागफल खोजें: 369:28; 897:12; 698:36.

अब कागज पर समाधान के लिए आगे बढ़ें। एक कॉलम में लिखें: 1068:89।
सबसे पहले आपको अधूरे लाभांश को अलग करना होगा। आप संख्याओं के ऊपर अल्पविराम का उपयोग कर सकते हैं.

एक नोट पर! तीसरी कक्षा के छात्रों के साथ सात अंकों की संख्या वाले उदाहरणों को हल करने की आवश्यकता नहीं है। यह तो ज्यादा है। यह पाँच-अंकीय संख्याओं (10,000 तक) वाले कार्यों पर ध्यान केंद्रित करने के लिए पर्याप्त है। लाखों बच्चों का विभाजन हाई स्कूल से होता है।

शेषफल सहित विभाजन

विभाजन कौशल को मजबूत करने के लिए पाठ का अंतिम चरण शेष के साथ कार्यों का समाधान होगा। वे तीसरी-चौथी कक्षा की समाधान पुस्तिका में अवश्य मिलेंगे। गणितीय पूर्वाग्रह वाले व्यायामशालाओं में, स्कूली बच्चे न केवल अपूर्ण संख्याओं का अध्ययन करते हैं, बल्कि दशमलव अंशों का भी अध्ययन करते हैं। कोने से उदाहरण लिखने का स्वरूप वही रहेगा, केवल उत्तर भिन्न होगा।

शेषफल के साथ विभाजन के सरल उदाहरण लें, आप पहले से हल किए गए कार्यों को उत्तर में एक पूर्णांक के साथ, लाभांश में एक जोड़कर परिवर्तित कर सकते हैं। यह बच्चे के लिए बहुत सुविधाजनक है, वह तुरंत देखेगा कि उदाहरण कैसे समान हैं और वे कैसे भिन्न हैं।

पाठ इस तरह दिख सकता है:

एक नोट पर! सीखने के विभाजन के प्रारंभिक चरण में एक पूर्णांक को अल्पविराम के शेष भाग से अलग करना आवश्यक नहीं है, इससे एक अंश बनाना आवश्यक नहीं है। शेष को अलग से रिकॉर्ड करें ताकि छात्र कॉलम में अंतर का अंतिम परिणाम देख सके।

किस प्रकार जांच करें

विभाजन की जाँच गुणन द्वारा की जाती है: भाजक को भाजक से गुणा किया जाता है। आप इसे एक कॉलम में कर सकते हैं:

अब आइए जाँच करें:

शेषफल के साथ विभाजन की जाँच करने के लिए:

कुल भागफल को भाजक से गुणा करें।
परिणाम में शेष जोड़ें.

34+1 (शेष) =35

विभाजन उदाहरण के समाधान की शुद्धता की जांच करने के लिए एल्गोरिदम अंकों की बिट गहराई से नहीं बदलता है।

महत्वपूर्ण! सबसे पहले, तालिका के ज्ञान को जांचने और समेकित करने के लिए बच्चे को गुणन जांच को विस्तार से चित्रित करने के लिए कहें।

प्रशिक्षण के लिए उदाहरण

प्रशिक्षण कार्य आपको यह सीखने में मदद करते हैं कि विभाजन के साथ उदाहरणों को शीघ्रता से कैसे हल किया जाए। कार्ड प्रत्येक पाठ को एक नया विषय पारित करने के बाद समाप्त कर सकते हैं।

स्पष्ट

दहाई का आंकड़ा

बहुअर्थी

कार्ड डाउनलोड करें

घरेलू गणित सिम्युलेटर के रूप में, उदाहरणों के साथ फ़्लैशकार्ड का उपयोग करें। उनमें अलग-अलग मामले शामिल करें: एकल-अंकीय और बहु-अंकीय संख्याओं के साथ, पूर्ण परिणाम के साथ विभाजन और शेषफल। आप कार्ड निःशुल्क डाउनलोड कर सकते हैं. सत्यापन कार्य के लिए हैंडआउट सामग्री मुद्रित की जानी चाहिए।

प्राथमिक विद्यालय में बच्चों में विभाजन संबंधी गलतियाँ काफी आम हैं। इस विषय पर अधिकतम ध्यान और समय दें ताकि बाद की सामग्री का आत्मसात बिना किसी हिचकिचाहट के हो सके। फ़्लैशकार्ड, वीडियो ट्यूटोरियल, निरंतर कौशल प्रशिक्षण और चंचल तरीके से विषयों की पुनरावृत्ति का उपयोग करें। तब घरेलू पाठ बच्चे को बोर नहीं करेगा और अधिकतम लाभ के साथ आयोजित किया जाएगा।

महत्वपूर्ण! *लेख सामग्री की प्रतिलिपि बनाते समय, पहले के लिए एक सक्रिय लिंक इंगित करना सुनिश्चित करें

एक कॉलम द्वारा विभाजित करना, या, अधिक सही ढंग से, एक कोने से विभाजित करने की एक लिखित विधि, स्कूली बच्चे पहले से ही प्राथमिक विद्यालय की तीसरी कक्षा में हैं, लेकिन अक्सर इस विषय पर इतना कम ध्यान दिया जाता है कि सभी छात्र ग्रेड 9 तक इसका स्वतंत्र रूप से उपयोग नहीं कर सकते हैं। -11।

एक कॉलम को दो अंकों की संख्या से विभाजित करना ग्रेड 4 में होता है, साथ ही तीन अंकों की संख्या से विभाजित करना भी होता है, और फिर किसी भी समीकरण को हल करते समय या किसी अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करते समय इस तकनीक का उपयोग केवल सहायक के रूप में किया जाता है।

यह स्पष्ट है कि स्कूली पाठ्यक्रम में दिए गए कॉलम से भाग देने पर अधिक ध्यान देने से, बच्चे के लिए कक्षा 11 तक के गणित के कार्यों को पूरा करना आसान हो जाएगा। और इसके लिए आपको थोड़ी सी आवश्यकता है - विषय को समझने और उस पर काम करने, निर्णय लेने, एल्गोरिदम को अपने दिमाग में रखने, गणना कौशल को स्वचालितता में लाने की।

आरंभ करने के लिए, आइए संक्षेप में दोहराएँ कि किसी कॉलम में एकल-अंकीय संख्या से कैसे विभाजित किया जाए:

एक कॉलम द्वारा दो अंकों की संख्या को विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम

एकल अंक से विभाजन की तरह, हम क्रमिक रूप से बड़ी गिनती इकाइयों को विभाजित करने से छोटी इकाइयों को विभाजित करने की ओर बढ़ेंगे।

1. पहला अपूर्ण लाभांश ज्ञात कीजिए. यह एक ऐसी संख्या है जो 1 से बड़ी या उसके बराबर संख्या प्राप्त करने के लिए भाजक द्वारा विभाज्य होती है। इसका मतलब यह है कि पहला आंशिक विभाज्य हमेशा भाजक से बड़ा होता है। दो अंकों की संख्या से विभाजित करते समय, पहले अपूर्ण विभाज्य में कम से कम 2 अंक होते हैं।

उदाहरण 76 8:24. प्रथम अपूर्ण लाभांश 76
265:53 26, 53 से कम है, इसलिए यह फिट नहीं बैठता। आपको अगला नंबर (5) जोड़ना होगा। पहला अपूर्ण लाभांश 265 है।

2. निजी में अंकों की संख्या निर्धारित करें. निजी में अंकों की संख्या निर्धारित करने के लिए, यह याद रखना चाहिए कि निजी का एक अंक अपूर्ण लाभांश से मेल खाता है, और निजी का एक और अंक लाभांश के अन्य सभी अंकों से मेल खाता है।

उदाहरण 768:24. पहला अपूर्ण लाभांश 76 है। यह 1 निजी अंक से मेल खाता है। पहले आंशिक भाजक के बाद एक और अंक होता है। अतः भागफल में केवल 2 अंक होंगे।
265:53. पहला अपूर्ण लाभांश 265 है। यह भागफल का 1 अंक देगा। लाभांश में कोई और संख्या नहीं है. अतः भागफल में केवल 1 अंक होगा।
15344:56. पहला अधूरा लाभांश 153 है, और इसके बाद 2 और अंक हैं। अतः भागफल में केवल 3 अंक होंगे।

3. निजी के प्रत्येक अंक में संख्याएँ ज्ञात करें. सबसे पहले, भागफल का पहला अंक ज्ञात करें। हम एक ऐसे पूर्णांक का चयन करते हैं, जिसे हमारे भाजक से गुणा करने पर, हमें एक ऐसी संख्या प्राप्त होती है जो पहले अपूर्ण विभाज्य के जितना संभव हो उतना करीब हो। हम कोने के नीचे निजी संख्या लिखते हैं, और अपूर्ण भाजक से एक कॉलम में उत्पाद का मूल्य घटाते हैं। बाकी हम लिख देते हैं. हम जाँचते हैं कि यह भाजक से कम है।

फिर हमें निजी का दूसरा अंक मिलता है। हम लाभांश में पहले अपूर्ण भाजक के बाद की संख्या को शेषफल के साथ एक पंक्ति में फिर से लिखते हैं। परिणामी अपूर्ण लाभांश को फिर से भाजक द्वारा विभाजित किया जाता है और इस प्रकार हम प्रत्येक बाद की निजी संख्या को तब तक ढूंढते हैं जब तक कि भाजक अंक समाप्त न हो जाएं।

4. शेषफल ज्ञात कीजिए(अगर वहाँ होता)।

यदि भागफल अंक समाप्त हो गए हैं और शेषफल 0 है, तो विभाजन शेषफल के बिना किया जाता है। अन्यथा, भागफल मान शेषफल के साथ लिखा जाता है।

किसी भी बहु-अंकीय संख्या (तीन-अंकीय, चार-अंकीय, आदि) द्वारा विभाजन भी किया जाता है।

किसी कॉलम को दो अंकों की संख्या से विभाजित करने के लिए पार्सिंग उदाहरण

सबसे पहले, विभाजन के सरल मामलों पर विचार करें, जब भागफल एक अंक वाली संख्या होती है।

आइए निजी संख्याओं 265 और 53 का मान ज्ञात करें।

पहला अपूर्ण लाभांश 265 है। लाभांश में कोई और संख्या नहीं है। अतः भागफल एक अंकीय संख्या होगी।

निजी संख्या चुनना आसान बनाने के लिए, हम 265 को 53 से नहीं, बल्कि एक करीबी पूर्ण संख्या 50 से विभाजित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 265 को 10 से विभाजित करते हैं, 26 (शेष 5) होगा। और 26 को 5 से विभाजित करने पर 5 (शेष 1) आएगा। संख्या 5 को तुरंत निजी तौर पर नहीं लिखा जा सकता, क्योंकि यह एक परीक्षण संख्या है। सबसे पहले आपको यह जांचना होगा कि यह फिट बैठता है या नहीं। 53*5=265 को गुणा करें। हमने देखा कि अंक 5 आया। और अब हम इसे एक निजी कोने में रिकॉर्ड कर सकते हैं। 265-265=0. विभाजन शेषफल के बिना किया जाता है।

निजी संख्या 265 और 53 का मान 5 है।

कभी-कभी, विभाजित करते समय, भागफल का परीक्षण अंक फिट नहीं होता है, और फिर इसे बदलने की आवश्यकता होती है।

आइए निजी संख्याओं 184 और 23 का मान ज्ञात करें।

भागफल एक अंक होगा.

निजी संख्या चुनना आसान बनाने के लिए, हम 184 को 23 से नहीं, बल्कि 20 से विभाजित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 184 को 10 से विभाजित करते हैं, यह 18 (शेष 4) होगा। और हम 18 को 2 से विभाजित करते हैं, यह 9 होगा। 9 एक परीक्षण संख्या है, हम इसे तुरंत निजी तौर पर नहीं लिखेंगे, लेकिन हम जांच करेंगे कि यह फिट बैठता है या नहीं। 23*9=207 गुणा करें. 207, 184 से बड़ा है। हम देखते हैं कि संख्या 9 फिट नहीं बैठती। भागफल 9 से कम होगा। आइए देखें कि संख्या 8 उपयुक्त है या नहीं। 23*8=184 गुणा करें। हम देखते हैं कि अंक 8 उपयुक्त है। हम इसे निजी तौर पर रिकॉर्ड कर सकते हैं. 184-184=0. विभाजन शेषफल के बिना किया जाता है।

निजी संख्या 184 और 23 का मान 8 है।

आइए विभाजन के अधिक कठिन मामलों पर विचार करें।

निजी संख्या 768 और 24 का मान ज्ञात कीजिए।

पहला अपूर्ण लाभांश 76 दहाई है। तो, भागफल में 2 अंक होंगे।

आइए भागफल का पहला अंक ज्ञात करें। आइए 76 को 24 से विभाजित करें। निजी संख्या ज्ञात करना आसान बनाने के लिए, हम 76 को 24 से नहीं, बल्कि 20 से विभाजित करते हैं। यानी, हमें 76 को 10 से विभाजित करना होगा, 7 (शेष 6) होगा। 3 (शेष 1) प्राप्त करने के लिए 7 को 2 से विभाजित करें। 3 भागफल का परीक्षण अंक है। आइए पहले देखें कि यह फिट बैठता है या नहीं। 24*3=72 को गुणा करें। 76-72=4. शेषफल भाजक से कम है। इसका मतलब है कि संख्या 3 आ गई है और अब हम इसे दसियों भागफल के स्थान पर लिख सकते हैं। 72 हम पहले अपूर्ण विभाज्य के नीचे लिखते हैं, उनके बीच ऋण चिह्न लगाते हैं, शेष को रेखा के नीचे लिखते हैं।

चलो विभाजन जारी रखें. आइए पहले अपूर्ण विभाज्य के बाद, शेषफल के साथ संख्या 8 को फिर से लिखें। हमें निम्नलिखित अपूर्ण लाभांश प्राप्त होता है - 48 इकाइयाँ। आइए 48 को 24 से विभाजित करें। निजी संख्या को चुनना आसान बनाने के लिए, हम 48 को 24 से नहीं, बल्कि 20 से विभाजित करते हैं। यानी, हम 48 को 10 से विभाजित करते हैं, 4 (शेष 8) होगा। और 4 को 2 से विभाजित करने पर 2 आएगा। यह निजी का परीक्षण अंक है। हमें पहले यह जांचना होगा कि यह फिट होगा या नहीं। 24*2=48 गुणा करें। हम देखते हैं कि संख्या 2 आ गई है और इसलिए, हम इसे भागफल की इकाइयों के स्थान पर लिख सकते हैं। 48-48=0, विभाजन शेषफल के बिना किया जाता है।

निजी संख्या 768 और 24 का मान 32 है।

निजी संख्या 15344 और 56 का मान ज्ञात कीजिए।

पहला अपूर्ण लाभांश 153 शतक है, जिसका अर्थ है कि निजी में तीन अंक होंगे।

आइए भागफल का पहला अंक ज्ञात करें। आइए 153 को 56 से विभाजित करें। निजी संख्या ज्ञात करना आसान बनाने के लिए, हम 153 को 56 से नहीं, बल्कि 50 से विभाजित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 153 को 10 से विभाजित करते हैं, 15 (शेष 3) होगा। और 15 को 5 से विभाजित करने पर 3 होगा। 3 भागफल का परीक्षण अंक है। याद रखें: आप इसे तुरंत निजी तौर पर नहीं लिख सकते, लेकिन आपको पहले यह जांचना होगा कि यह फिट बैठता है या नहीं। 56*3=168 को गुणा करें। 168, 153 से बड़ा है। इसलिए, भागफल में यह 3 से कम होगा। आइए देखें कि संख्या 2 उपयुक्त है या नहीं। 56*2=112 को गुणा करें। 153-112=41. शेषफल भाजक से कम है, जिसका अर्थ है कि संख्या 2 उपयुक्त है, इसे भागफल में सैकड़ा के स्थान पर लिखा जा सकता है।

हम निम्नलिखित अपूर्ण लाभांश बनाते हैं। 153-112=41. हम पहले अपूर्ण विभाज्य का अनुसरण करते हुए संख्या 4 को उसी पंक्ति में फिर से लिखते हैं। हमें दूसरा अपूर्ण लाभांश 414 दहाई प्राप्त होता है। आइए 414 को 56 से विभाजित करें। भागफल की संख्या चुनना अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए, हम 414 को 56 से नहीं, बल्कि 50 से विभाजित करेंगे। 414:10=41(शेष 4)। 41:5=8(बाकी.1). याद रखें: 8 एक परीक्षण संख्या है. चलो पता करते हैं। 56*8=448. 448, 414 से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि भागफल में यह 8 से कम होगा। आइए देखें कि संख्या 7 उपयुक्त है या नहीं। 56 को 7 से गुणा करें, हमें 392 मिलता है। 414-392=22। शेषफल भाजक से कम है। तो, संख्या आ गई और भागफल में दहाई के स्थान पर हम 7 लिख सकते हैं।

हम 4 इकाइयों के नये शेषफल के साथ एक पंक्ति में लिखते हैं। तो अगला अधूरा लाभांश 224 इकाई है। चलो विभाजन जारी रखें. 224 को 56 से विभाजित करें। भागफल निकालना आसान बनाने के लिए, 224 को 50 से विभाजित करें। यानी, पहले 10 से, यह 22 (शेष 4) होगा। और 22 को 5 से विभाजित करने पर 4 (शेष 2) आएगा। 4 एक परीक्षण संख्या है, आइए देखें कि यह काम करता है या नहीं। 56*4=224. और हम देख रहे हैं कि आंकड़ा सामने आ गया है.' हम भागफल में इकाई के स्थान पर 4 लिखते हैं। 224-224=0, विभाजन शेषफल के बिना किया जाता है।

निजी संख्या 15344 और 56 का मान 274 है।

शेषफल के साथ विभाजन का उदाहरण

एक सादृश्य बनाने के लिए, आइए उपरोक्त उदाहरण के समान एक उदाहरण लें, और केवल अंतिम अंक में अंतर हो

आइए निजी संख्याओं का मान 15345:56 ज्ञात करें

हम पहले उदाहरण 15344:56 की तरह ही विभाजित करते हैं, जब तक कि हम अंतिम अपूर्ण विभाज्य 225 तक नहीं पहुंच जाते। 225 को 56 से विभाजित करें। निजी संख्या ज्ञात करना आसान बनाने के लिए, 225 को 50 से विभाजित करें। यानी पहले 10 से , वहां 22 होगा (शेषफल 5 है )। और 22 को 5 से विभाजित करने पर 4 (शेष 2) आएगा। 4 एक परीक्षण संख्या है, आइए देखें कि यह काम करता है या नहीं। 56*4=224. और हम देख रहे हैं कि आंकड़ा सामने आ गया है.' हम भागफल में इकाई के स्थान पर 4 लिखते हैं। 225-224=1, विभाजन शेषफल से किया जाता है।

निजी संख्या 15345 और 56 का मान 274 (शेष 1) है।

भागफल में शून्य से विभाजन

कभी-कभी भागफल में कोई एक संख्या 0 हो जाती है, और बच्चे अक्सर इसे छोड़ देते हैं, इसलिए गलत समाधान होता है। आइए जानें कि 0 कहां से आ सकता है और इसे कैसे न भूलें।

निजी संख्या 2870:14 का मान ज्ञात कीजिए

पहला आंशिक लाभांश 28 सैकड़ा है। अतः भागफल में 3 अंक होंगे। हमने कोने के नीचे तीन अंक रखे। यह एक महत्वपूर्ण मुद्दा है। यदि बच्चा शून्य खो देता है, तो एक अतिरिक्त बिंदु होगा, जिससे आपको लगेगा कि कहीं कोई अंक छूट गया है।

आइए भागफल का पहला अंक ज्ञात करें। 28 को 14 से विभाजित करें। चयन से, हमें 2 मिलता है। आइए देखें कि संख्या 2 फिट बैठती है या नहीं। 14*2=28 को गुणा करें। अंक 2 उपयुक्त है, इसे निजी में सैकड़ा के स्थान पर लिखा जा सकता है। 28-28=0.

शून्य शेष है. हमने स्पष्टता के लिए इसे गुलाबी रंग से चिह्नित किया है, लेकिन आपको इसे लिखने की आवश्यकता नहीं है। हम लाभांश से संख्या 7 को शेषफल के साथ एक पंक्ति में फिर से लिखते हैं। लेकिन पूर्णांक प्राप्त करने के लिए 7, 14 से विभाज्य नहीं है, इसलिए हम निजी में दहाई के स्थान पर 0 लिखते हैं।