समाधान ईजी प्रोफ़ाइल। गणित में परीक्षा की तैयारी (प्रोफ़ाइल स्तर): कार्य, समाधान और स्पष्टीकरण

माध्यमिक सामान्य शिक्षा

लाइन यूएमके जीके मुरवीना। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत (10-11) (गहरा)

लाइन UMK Merzlyak। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत (10-11) (यू)

अंक शास्त्र

गणित में परीक्षा की तैयारी (प्रोफ़ाइल स्तर): कार्य, समाधान और स्पष्टीकरण

हम कार्यों का विश्लेषण करते हैं और शिक्षक के साथ उदाहरण हल करते हैं

प्रोफ़ाइल-स्तरीय परीक्षा का पेपर 3 घंटे 55 मिनट (235 मिनट) तक रहता है।

न्यूनतम दहलीज- 27 अंक।

परीक्षा पत्र में दो भाग होते हैं, जो सामग्री, जटिलता और कार्यों की संख्या में भिन्न होते हैं।

कार्य के प्रत्येक भाग की परिभाषित विशेषता कार्यों का रूप है:

भाग 1 में पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में संक्षिप्त उत्तर के साथ 8 कार्य (कार्य 1-8) होते हैं;
भाग 2 में पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में संक्षिप्त उत्तर के साथ 4 कार्य (कार्य 9-12) और विस्तृत उत्तर के साथ 7 कार्य (कार्य 13-19) शामिल हैं। की गई क्रियाएं)।

पनोवा स्वेतलाना अनातोलिवना, गणित शिक्षक उच्चतम श्रेणीस्कूल, 20 साल का कार्य अनुभव:

“एक स्कूल प्रमाणपत्र प्राप्त करने के लिए, एक स्नातक को एकीकृत राज्य परीक्षा के रूप में दो अनिवार्य परीक्षाएँ उत्तीर्ण करनी चाहिए, जिनमें से एक गणित है। गणितीय शिक्षा के विकास की अवधारणा के अनुसार रूसी संघगणित में यूएसई को दो स्तरों में बांटा गया है: बुनियादी और विशेष। आज हम प्रोफ़ाइल स्तर के विकल्पों पर विचार करेंगे।

टास्क नंबर 1- व्यावहारिक गतिविधियों में प्रारंभिक गणित में 5-9 ग्रेड के दौरान हासिल किए गए कौशल को लागू करने के लिए यूएसई प्रतिभागियों की क्षमता की जांच करता है। प्रतिभागी के पास कम्प्यूटेशनल कौशल होना चाहिए, परिमेय संख्याओं के साथ काम करने में सक्षम होना चाहिए, दशमलव अंशों को गोल करने में सक्षम होना चाहिए, माप की एक इकाई को दूसरे में बदलने में सक्षम होना चाहिए।

उदाहरण 1जिस अपार्टमेंट में पेट्र रहता है, वहां ठंडे पानी का मीटर (मीटर) लगाया गया था। पहली मई को मीटर में 172 क्यूबिक मीटर की खपत दिखाई दी। पानी का मीटर, और पहली जून को - 177 घन मीटर। मी. पीटर मई के लिए ठंडे पानी के लिए कितना भुगतान करना चाहिए, अगर 1 सीयू की कीमत। मीटर ठंडा पानी 34 रूबल 17 कोपेक है? अपना उत्तर रूबल में दें।

समाधान:

1) प्रति माह खर्च किए गए पानी की मात्रा ज्ञात कीजिए:

177 - 172 = 5 (घन मीटर)

2) खर्च किए गए पानी के लिए कितना पैसा चुकाया जाएगा, इसका पता लगाएं:

34.17 5 = 170.85 (घिसना)

उत्तर: 170,85.

टास्क नंबर 2- परीक्षा के सबसे सरल कार्यों में से एक है। अधिकांश स्नातक सफलतापूर्वक इसका सामना करते हैं, जो फ़ंक्शन की अवधारणा की परिभाषा के कब्जे को इंगित करता है। कार्य प्रकार संख्या 2 आवश्यकताओं के अनुसार कोडिफायर व्यावहारिक गतिविधियों में अर्जित ज्ञान और कौशल का उपयोग करने के लिए एक कार्य है और रोजमर्रा की जिंदगी. टास्क नंबर 2 में कार्यों का वर्णन करना, कार्यों का उपयोग करना, मात्राओं के बीच विभिन्न वास्तविक संबंध और उनके ग्राफ़ की व्याख्या करना शामिल है। टास्क नंबर 2 टेबल, आरेख, ग्राफ़ में प्रस्तुत जानकारी निकालने की क्षमता का परीक्षण करता है। स्नातकों को फ़ंक्शन निर्दिष्ट करने के विभिन्न तरीकों के साथ तर्क के मूल्य द्वारा फ़ंक्शन के मूल्य को निर्धारित करने में सक्षम होना चाहिए और फ़ंक्शन के व्यवहार और गुणों को उसके ग्राफ के अनुसार वर्णित करना चाहिए। फ़ंक्शन ग्राफ़ से सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान खोजने और अध्ययन किए गए फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाने में सक्षम होना भी आवश्यक है। समस्या की स्थितियों को पढ़ने, आरेख को पढ़ने में की गई गलतियाँ यादृच्छिक प्रकृति की होती हैं।

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उदाहरण 2यह आंकड़ा अप्रैल 2017 की पहली छमाही में एक खनन कंपनी के एक शेयर के विनिमय मूल्य में परिवर्तन को दर्शाता है। कारोबारी ने 7 अप्रैल को इस कंपनी के 1,000 शेयर खरीदे। 10 अप्रैल को, उसने खरीदे गए शेयरों का तीन-चौथाई हिस्सा बेच दिया, और 13 अप्रैल को उसने शेष सभी को बेच दिया। इन कार्रवाइयों के परिणामस्वरूप व्यवसायी को कितना नुकसान हुआ?

समाधान:

2) 1000 3/4 = 750 (शेयर) - सभी खरीदे गए शेयरों का 3/4 हिस्सा।

6) 247500 + 77500 = 325000 (रूबल) - 1000 शेयरों की बिक्री के बाद व्यवसायी को प्राप्त हुआ।

7) 340,000 - 325,000 = 15,000 (रूबल) - व्यवसायी सभी कार्यों के परिणामस्वरूप खो गया।

उत्तर: 15000.

टास्क नंबर 3- पहले भाग के बुनियादी स्तर का एक कार्य है, यह "प्लानिमेट्री" पाठ्यक्रम की सामग्री के अनुसार ज्यामितीय आकृतियों के साथ क्रिया करने की क्षमता की जांच करता है। टास्क 3 चेकर्ड पेपर पर एक आकृति के क्षेत्र की गणना करने की क्षमता, कोणों के डिग्री उपायों की गणना करने की क्षमता, परिधि की गणना आदि की जांच करता है।

उदाहरण 3 1 सेमी x 1 सेमी (आकृति देखें) के सेल आकार के साथ चेकर पेपर पर खींचे गए आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें। अपना उत्तर वर्ग सेंटीमीटर में दीजिए।

समाधान:इस आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप पीक सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

इस आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम पीक सूत्र का उपयोग करते हैं:

एस= बी +	जी
	2

जहां वी = 10, जी = 6, इसलिए

एस = 18 +	6
	2

उत्तर: 20.

यह भी देखें: भौतिकी में एकीकृत राज्य परीक्षा: कंपन समस्याओं को हल करना

टास्क नंबर 4- पाठ्यक्रम "संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी" का कार्य। सरलतम स्थिति में किसी घटना की संभावना की गणना करने की क्षमता का परीक्षण किया जाता है।

उदाहरण 4वृत्त पर 5 लाल और 1 नीला बिंदु हैं। निर्धारित करें कि कौन से बहुभुज बड़े हैं: वे जिनमें सभी लाल शीर्ष हैं, या वे जिनमें से कोई एक नीला शीर्ष है। अपने उत्तर में बताएं कि एक से दूसरे की संख्या कितनी अधिक है।

समाधान: 1) हम संयोजनों की संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं एनतत्वों द्वारा क:

जिसके सभी शीर्ष लाल हैं।

3) सभी लाल शीर्षों वाला एक पंचभुज।

4) 10 + 5 + 1 = 16 बहुभुज सभी लाल शीर्षों के साथ।

जिनके शीर्ष लाल या एक नीले शीर्ष के साथ हैं।

8) एक षट्भुज जिसके शीर्ष लाल हैं और एक नीला शीर्ष है।

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 बहुभुज जिसमें सभी लाल शीर्ष या एक नीला शीर्ष है।

10) 42 - 16 = 26 बहुभुज जो नीले बिंदु का उपयोग करते हैं।

11) 26 - 16 = 10 बहुभुज - कितने बहुभुज, जिनमें से एक कोने में एक नीला बिंदु है, बहुभुज से अधिक है, जिसमें सभी कोने केवल लाल हैं।

उत्तर: 10.

कार्य संख्या 5- पहले भाग का बुनियादी स्तर सबसे सरल समीकरणों (तर्कहीन, घातीय, त्रिकोणमितीय, लघुगणक) को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है।

उदाहरण 5समीकरण 2 3 + को हल कीजिये एक्स= 0.4 5 3 + एक्स .

समाधान।इस समीकरण के दोनों पक्षों को 5 3 + से विभाजित करें एक्स≠ 0, हमें मिलता है

2 3 + एक्स	= 0.4 या		2		3 + एक्स	=	2	,
5 3 + एक्स			5				5

जहां से यह 3 + का अनुसरण करता है एक्स = 1, एक्स = –2.

उत्तर: –2.

टास्क नंबर 6ज्यामितीय मात्राओं (लंबाई, कोण, क्षेत्र) को खोजने के लिए समतलमिति में, ज्यामिति की भाषा में वास्तविक स्थितियों का प्रतिरूपण करना। ज्यामितीय अवधारणाओं और प्रमेयों का उपयोग करके निर्मित मॉडलों का अध्ययन। कठिनाइयों का स्रोत, एक नियम के रूप में, प्लैनिमेट्री के आवश्यक प्रमेयों की अज्ञानता या गलत अनुप्रयोग है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल एबीसी 129 के बराबर। डे- पार्श्व के समानांतर मध्य रेखा अब. समलंब का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एक बिस्तर.

समाधान।त्रिकोण सीडीईत्रिभुज के समान कैबदो कोनों पर, शीर्ष पर कोने के बाद से सीसामान्य, कोण सीडीईकोण के बराबर कैबसंगत कोणों के रूप में डे || अबकाटनेवाला एसी. क्योंकि डेस्थिति द्वारा त्रिभुज की मध्य रेखा है, तो मध्य रेखा के गुण से | डे = (1/2)अब. तो समानता गुणांक 0.5 है। समान आंकड़ों के क्षेत्र समानता गुणांक के वर्ग के रूप में संबंधित हैं, इसलिए

इस तरह, एस एबीईडी = एस Δ एबीसी – एस Δ सीडीई = 129 – 32,25 = 96,75.

टास्क नंबर 7- समारोह के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न के आवेदन की जाँच करता है। सफल कार्यान्वयन के लिए, व्युत्पन्न की अवधारणा का अर्थपूर्ण, गैर-औपचारिक अधिकार आवश्यक है।

उदाहरण 7समारोह के ग्राफ के लिए वाई = एफ(एक्स) भुज के साथ बिंदु पर एक्स 0 एक स्पर्शरेखा खींची गई है, जो इस ग्राफ के बिंदुओं (4; 3) और (3; -1) से गुजरने वाली सीधी रेखा के लंबवत है। पाना एफ′( एक्स 0).

समाधान। 1) आइए दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करें और बिंदु (4; 3) और (3; -1) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण खोजें।

(वाई – वाई 1)(एक्स 2 – एक्स 1) = (एक्स – एक्स 1)(वाई 2 – वाई 1)

(वाई – 3)(3 – 4) = (एक्स – 4)(–1 – 3)

(वाई – 3)(–1) = (एक्स – 4)(–4)

–वाई + 3 = –4एक्स+ 16 | · (-1)

वाई – 3 = 4एक्स – 16

वाई = 4एक्स- 13, जहां क 1 = 4.

2) स्पर्शरेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए क 2 जो रेखा के लंबवत है वाई = 4एक्स- 13, जहां क 1 = 4, सूत्र के अनुसार:

3) स्पर्शरेखा का ढलान संपर्क बिंदु पर फलन का व्युत्पन्न है। साधन, एफ′( एक्स 0) = क 2 = –0,25.

उत्तर: –0,25.

टास्क नंबर 8- परीक्षा प्रतिभागियों के बीच प्राथमिक रूढ़िवादिता के ज्ञान की जांच करता है, सतह क्षेत्रों और आंकड़ों की मात्रा, डायहेड्रल कोणों को खोजने के लिए सूत्रों को लागू करने की क्षमता, समान आंकड़ों की मात्रा की तुलना करें, ज्यामितीय आंकड़ों, निर्देशांक और वैक्टर आदि के साथ कार्रवाई करने में सक्षम हो। .

एक गोले के चारों ओर परिबद्ध एक घन का आयतन 216 है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान। 1) वीघन = ए 3 (जहाँ एघन के किनारे की लंबाई है), इसलिए

ए 3 = 216

ए = 3 √216

2) चूँकि गोला एक घन में खुदा हुआ है, इसका मतलब है कि गोले के व्यास की लंबाई घन के किनारे की लंबाई के बराबर है, इसलिए डी = ए, डी = 6, डी = 2आर, आर = 6: 2 = 3.

टास्क नंबर 9- बीजगणितीय व्यंजकों को बदलने और सरल बनाने के लिए स्नातक की आवश्यकता होती है। टास्क नंबर 9 अग्रवर्ती स्तरछोटे उत्तरों में कठिनाई। यूएसई में "गणना और परिवर्तन" खंड के कार्य कई प्रकारों में विभाजित हैं:

संख्यात्मक तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के परिवर्तन;

बीजगणितीय व्यंजकों और भिन्नों का रूपांतरण;

संख्यात्मक/अक्षर अपरिमेय अभिव्यक्तियों का रूपांतरण;

डिग्री के साथ क्रियाएं;

लघुगणकीय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन;

अंकीय/अक्षर त्रिकोणमितीय व्यंजकों का रूपांतरण।

उदाहरण 9 Tgα की गणना करें यदि यह ज्ञात है कि cos2α = 0.6 और

3π	< α < π.
4

समाधान। 1) आइए दोहरे तर्क सूत्र का उपयोग करें: cos2α = 2 cos 2 α - 1 और खोजें

तन 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	कॉस 2 α		0,8		8		4		4		4

इसलिए, tan 2 α = ± 0.5।

3) शर्त के अनुसार

3π	< α < π,
4

इसलिए α दूसरी तिमाही और tgα का कोण है< 0, поэтому tgα = –0,5.

उत्तर: –0,5.

#विज्ञापन_डालें# टास्क नंबर 10- व्यावहारिक गतिविधियों और रोजमर्रा की जिंदगी में अर्जित प्रारंभिक ज्ञान और कौशल का उपयोग करने के लिए छात्रों की क्षमता की जांच करता है। हम कह सकते हैं कि ये भौतिकी की समस्याएँ हैं, गणित की नहीं, बल्कि सभी आवश्यक सूत्र और मात्राएँ दशा में दी गई हैं। कार्यों को एक रेखीय या द्विघात समीकरण, या एक रेखीय या द्विघात असमानता को हल करने के लिए कम कर दिया जाता है। इसलिए, ऐसे समीकरणों और असमानताओं को हल करने और उत्तर निर्धारित करने में सक्षम होना आवश्यक है। उत्तर पूर्ण संख्या या अंतिम दशमलव अंश के रूप में होना चाहिए।

द्रव्यमान के दो पिंड एम= 2 किग्रा प्रत्येक, एक ही गति से चल रहा है वि= 10 मी/से एक दूसरे से 2α के कोण पर। उनके बिल्कुल अप्रत्यास्थ टक्कर के दौरान जारी ऊर्जा (जूल में) अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित की जाती है क्यू = एमवी 2 पाप 2 α। किस सबसे छोटे कोण पर 2α (डिग्री में) पिंडों को चलना चाहिए ताकि टक्कर के परिणामस्वरूप कम से कम 50 जूल जारी हों?
समाधान।समस्या को हल करने के लिए, हमें असमानता Q ≥ 50 को अंतराल 2α ∈ (0°; 180°) पर हल करने की आवश्यकता है।

एमवी 2 पाप 2 α ≥ 50

2 10 2 पाप 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

चूँकि α ∈ (0°; 90°), हम केवल हल करेंगे

हम रेखांकन के रूप में असमानता के समाधान का प्रतिनिधित्व करते हैं:

चूंकि धारणा α ∈ (0°; 90°), इसका मतलब है कि 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

टास्क नंबर 11- विशिष्ट है, लेकिन यह छात्रों के लिए कठिन हो जाता है। कठिनाइयों का मुख्य स्रोत एक गणितीय मॉडल (एक समीकरण बनाना) का निर्माण है। टास्क नंबर 11 शब्द समस्याओं को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है।

उदाहरण 11।स्प्रिंग ब्रेक के दौरान, 11-ग्रेडर वस्या को परीक्षा की तैयारी के लिए 560 प्रशिक्षण समस्याओं को हल करना था। 18 मार्च को स्कूल के आखिरी दिन वास्या ने 5 सवाल हल किए। फिर हर दिन उसने पिछले दिन की तुलना में उतनी ही समस्याओं को हल किया। निर्धारित करें कि छुट्टी के आखिरी दिन 2 अप्रैल को वास्या ने कितनी समस्याओं का समाधान किया।

समाधान:निरूपित ए 1 = 5 - वास्या ने 18 मार्च को जितने कार्य हल किए, डी- वस्या द्वारा हल किए गए कार्यों की दैनिक संख्या, एन= 16 - 18 मार्च से 2 अप्रैल तक के दिनों की संख्या सहित, एस 16 = 560 - कार्यों की कुल संख्या, ए 16 - 2 अप्रैल को वास्या द्वारा हल किए गए कार्यों की संख्या। यह जानते हुए कि हर दिन वस्या ने पिछले दिन की तुलना में समान संख्या में कार्यों को हल किया है, तो आप अंकगणितीय प्रगति का योग खोजने के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

560 = (5 + ए 16) 8,

5 + ए 16 = 560: 8,

5 + ए 16 = 70,

ए 16 = 70 – 5

ए 16 = 65.

उत्तर: 65.

कार्य संख्या 12- कार्यों के साथ क्रिया करने के लिए छात्रों की क्षमता की जांच करें, फ़ंक्शन के अध्ययन के व्युत्पन्न को लागू करने में सक्षम हों।

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु ज्ञात करें वाई= 10 एलएन ( एक्स + 9) – 10एक्स + 1.

समाधान: 1) फलन का प्रांत ज्ञात कीजिए: एक्स + 9 > 0, एक्स> -9, यानी x ∈ (-9; ∞)।

2) फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए:

4) पाया गया बिंदु अंतराल (-9; ∞) से संबंधित है। हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों को परिभाषित करते हैं और आकृति में फ़ंक्शन के व्यवहार को दर्शाते हैं:

वांछित अधिकतम बिंदु एक्स = –8.

यूएमके जीके की लाइन में गणित में कार्य कार्यक्रम को मुफ्त में डाउनलोड करें। मुरवीना, के.एस. मुरवीना, ओ.वी. मुरवीना 10-11 मुफ्त बीजगणित मैनुअल डाउनलोड करें

टास्क नंबर 13- एक विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता का एक बढ़ा हुआ स्तर, जो समीकरणों को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है, जटिलता के बढ़े हुए स्तर के विस्तृत उत्तर के साथ कार्यों के बीच सबसे सफलतापूर्वक हल किया गया।

a) समीकरण 2log 3 2 (2cos एक्स) - 5लॉग 3 (2cos एक्स) + 2 = 0

बी) इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो खंड से संबंधित हैं।

समाधान: a) माना log 3 (2cos एक्स) = टी, फिर 2 टी 2 – 5टी + 2 = 0,

लॉग 3 (2cos एक्स) =	2	⇔	2cos एक्स = 9	⇔	ओल एक्स =	4,5	⇔ क्योंकि \|क्योंकि एक्स\| ≤ 1,

लॉग 3 (2cos एक्स) =	1		2cos एक्स = √3		ओल एक्स =	√3
	2					2

फिर कॉस एक्स =	√3
	2

एक्स =	π	+ 2π क
	6

एक्स = –	π	+ 2π क, क ∈ जेड
	6

ख) खंड पर पड़ी जड़ों का पता लगाएं।

यह चित्र से देखा जा सकता है कि दिए गए खंड की जड़ें हैं

11π	और	13π	.
6		6

उत्तर:ए)	π	+ 2π क; –	π	+ 2π क, क ∈ जेड; बी)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

टास्क नंबर 14- उन्नत स्तर विस्तृत उत्तर के साथ दूसरे भाग के कार्यों को संदर्भित करता है। कार्य ज्यामितीय आकृतियों के साथ कार्य करने की क्षमता का परीक्षण करता है। कार्य में दो आइटम होते हैं। पहले पैराग्राफ में, कार्य को सिद्ध किया जाना चाहिए, और दूसरे पैराग्राफ में इसकी गणना की जानी चाहिए।

बेलन के आधार का परिधि व्यास 20 है, बेलन का जेनरेट्रिक्स 28 है। तल 12 और 16 लंबाई के जीवाओं के साथ अपने आधारों को काटता है। जीवाओं के बीच की दूरी 2√197 है।

क) सिद्ध कीजिए कि बेलन के आधारों के केंद्र इस तल के एक ही ओर स्थित होते हैं।

ख) इस तल और बेलन के आधार के तल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान: a) लंबाई 12 की एक जीवा आधार वृत्त के केंद्र से दूरी = 8 पर है, और लंबाई 16 की जीवा, इसी तरह, 6 की दूरी पर है। इसलिए, एक समतल पर उनके प्रक्षेपणों के बीच की दूरी बेलन का आधार या तो 8 + 6 = 14, या 8 − 6 = 2 है।

तब जीवाओं के बीच की दूरी या तो है

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

शर्त के अनुसार, दूसरा मामला महसूस किया गया, जिसमें जीवाओं के प्रक्षेपण सिलेंडर के अक्ष के एक तरफ होते हैं। इसका मतलब यह है कि अक्ष इस विमान को सिलेंडर के भीतर नहीं काटता है, यानी आधार इसके एक तरफ स्थित होते हैं। साबित करने की क्या जरूरत थी।

बी) चलो आधारों के केंद्रों को ओ 1 और ओ 2 के रूप में निरूपित करते हैं। आइए हम आधार के केंद्र से लंबाई 12 की एक जीवा के साथ इस जीवा के लंबवत द्विभाजक (इसकी लंबाई 8 की लंबाई है, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है) और दूसरे आधार के केंद्र से दूसरे जीवा तक खींचते हैं। वे इन जीवाओं के लंबवत एक ही तल β में स्थित हैं। आइए छोटे तार बी के मध्य बिंदु को ए से बड़ा कहते हैं, और दूसरे आधार एच (एच ∈ β) पर ए का प्रक्षेपण करते हैं। तब AB,AH ∈ β और, इसलिए, AB,AH जीवा के लंबवत हैं, अर्थात, दिए गए तल के साथ आधार की प्रतिच्छेदन रेखा।

अतः अभीष्ट कोण है

∠ABH = आर्कटन	एएच	= आर्कटग	28	= आर्कटग14.
	बिहार		8 – 6

कार्य संख्या 15- एक विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता का एक बढ़ा हुआ स्तर, असमानताओं को हल करने की क्षमता की जांच करता है, जटिलता के बढ़े हुए स्तर के विस्तृत उत्तर के साथ कार्यों में सबसे सफलतापूर्वक हल किया गया।

उदाहरण 15असमानता को हल करें | एक्स 2 – 3एक्स| लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2 .

समाधान:इस असमानता की परिभाषा का क्षेत्र अंतराल (-1; +∞) है। तीन मामलों पर अलग-अलग विचार करें:

1) चलो एक्स 2 – 3एक्स= 0, यानी एक्स= 0 या एक्स= 3. इस स्थिति में, यह असमानता सत्य हो जाती है, इसलिए इन मानों को हल में शामिल किया जाता है।

2) अब चलो एक्स 2 – 3एक्स> 0, यानी एक्स∈ (-1; 0) ∪ (3; +∞)। इस मामले में, इस असमानता को फॉर्म में फिर से लिखा जा सकता है ( एक्स 2 – 3एक्स) लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2 और एक सकारात्मक अभिव्यक्ति से विभाजित करें एक्स 2 – 3एक्स. हमें लॉग 2 मिलता है ( एक्स + 1) ≤ –1, एक्स + 1 ≤ 2 –1 , एक्स≤ 0.5 -1 या एक्स≤ -0.5। परिभाषा के डोमेन को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है एक्स ∈ (–1; –0,5].

3) अंत में, विचार करें एक्स 2 – 3एक्स < 0, при этом एक्स∈ (0; 3)। इस मामले में, मूल असमानता को फॉर्म में फिर से लिखा जाएगा (3 एक्स – एक्स 2) लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2. एक सकारात्मक अभिव्यक्ति से विभाजित करने के बाद 3 एक्स – एक्स 2, हमें लॉग 2 मिलता है ( एक्स + 1) ≤ 1, एक्स + 1 ≤ 2, एक्स≤ 1. क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है एक्स ∈ (0; 1].

प्राप्त समाधानों को मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं एक्स ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

उत्तर: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

कार्य संख्या 16- उन्नत स्तर विस्तृत उत्तर के साथ दूसरे भाग के कार्यों को संदर्भित करता है। कार्य ज्यामितीय आकार, निर्देशांक और वैक्टर के साथ कार्य करने की क्षमता का परीक्षण करता है। कार्य में दो आइटम होते हैं। पहले पैराग्राफ में, कार्य को सिद्ध किया जाना चाहिए, और दूसरे पैराग्राफ में इसकी गणना की जानी चाहिए।

एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में शीर्ष A पर 120° के कोण के साथ, एक समद्विभाजक BD खींचा गया है। आयत DEFH त्रिभुज ABC में खुदा हुआ है ताकि भुजा FH खंड BC पर स्थित हो और शीर्ष E खंड AB पर स्थित हो। क) सिद्ध कीजिए कि FH = 2DH। b) आयत DEFH का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि AB = 4 है।

समाधान:ए)

1) ΔBEF - आयताकार, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, तो EF = BE 30° के कोण के विपरीत पाद के गुण के कारण।

2) माना EF = DH = एक्स, तो बीई = 2 एक्स, बीएफ = एक्सपायथागॉरियन प्रमेय द्वारा √3।

3) चूँकि ΔABC समद्विबाहु है, तो ∠B = ∠C = 30˚।

BD, ∠B का समद्विभाजक है, इसलिए ∠ABD = ∠DBC = 15˚।

4) ΔDBH - आयताकार पर विचार करें, क्योंकि डीएच⊥बीसी।

2एक्स	=	4 – 2एक्स
2एक्स(√3 + 1)	=	4

1	=	2 – एक्स
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – एक्स

एक्स = 3 – √3

ईएफ = 3 - √3

2) एसडीईएफएच = ईडी ईएफ = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

एसडीईएफ़एच = 24 - 12√3.

उत्तर: 24 – 12√3.

कार्य संख्या 17- एक विस्तृत उत्तर वाला कार्य, यह कार्य व्यावहारिक गतिविधियों और रोजमर्रा की जिंदगी में ज्ञान और कौशल के अनुप्रयोग, गणितीय मॉडल बनाने और अन्वेषण करने की क्षमता का परीक्षण करता है। यह कार्य आर्थिक सामग्री के साथ एक पाठ्य कार्य है।

उदाहरण 17। 20 मिलियन रूबल की राशि में जमा को चार साल के लिए खोलने की योजना है। प्रत्येक वर्ष के अंत में, बैंक वर्ष की शुरुआत में अपने आकार की तुलना में जमा राशि को 10% बढ़ा देता है। इसके अलावा, तीसरे और चौथे वर्ष की शुरुआत में, जमाकर्ता वार्षिक रूप से जमा राशि की भरपाई करता है एक्सलाख रूबल, कहाँ एक्स - पूरासंख्या। उच्चतम मान ज्ञात कीजिए एक्स, जिस पर बैंक चार साल में जमा राशि में 17 मिलियन रूबल से कम जोड़ देगा।

समाधान:पहले वर्ष के अंत में, योगदान 20 + 20 · 0.1 = 22 मिलियन रूबल होगा, और दूसरे वर्ष के अंत में - 22 + 22 · 0.1 = 24.2 मिलियन रूबल। तीसरे वर्ष की शुरुआत में, योगदान (मिलियन रूबल में) (24.2 + एक्स), और अंत में - (24.2 + एक्स) + (24,2 + एक्स) 0.1 = (26.62 + 1.1 एक्स). चौथे वर्ष की शुरुआत में, योगदान (26.62 + 2.1.3) होगा एक्स), और अंत में - (26.62 + 2.1 एक्स) + (26,62 + 2,1एक्स) 0.1 = (29.282 + 2.31 एक्स). स्थिति के अनुसार, आपको असमानता के लिए सबसे बड़ा पूर्णांक x खोजने की आवश्यकता है

(29,282 + 2,31एक्स) – 20 – 2एक्स < 17

29,282 + 2,31एक्स – 20 – 2एक्स < 17

0,31एक्स < 17 + 20 – 29,282

0,31एक्स < 7,718

एक्स <	7718
	310

एक्स <	3859
	155

एक्स < 24	139
	155

इस असमानता का सबसे बड़ा पूर्णांक समाधान संख्या 24 है।

उत्तर: 24.

कार्य संख्या 18- विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर का कार्य। यह कार्य आवेदकों की गणितीय तैयारी के लिए बढ़ी हुई आवश्यकताओं वाले विश्वविद्यालयों के प्रतिस्पर्धी चयन के लिए अभिप्रेत है। उच्च स्तर की जटिलता का कार्य एक समाधान पद्धति को लागू करने का कार्य नहीं है, बल्कि विभिन्न विधियों के संयोजन के लिए है। टास्क 18 के सफल समापन के लिए, ठोस गणितीय ज्ञान के अलावा, उच्च स्तर की गणितीय संस्कृति की भी आवश्यकता होती है।

किस पर एअसमानताओं की प्रणाली

	एक्स 2 + वाई 2 ≤ 2एय – ए 2 + 1

	वाई + ए ≤ \|एक्स\| – ए

ठीक दो समाधान हैं?

समाधान:इस प्रणाली को फिर से लिखा जा सकता है

	एक्स 2 + (वाई– ए) 2 ≤ 1

	वाई ≤ \|एक्स\| – ए

यदि हम समतल पर पहली असमिका के समाधान का समुच्चय खींचते हैं, तो हमें बिंदु (0, ए). दूसरी असमानता के समाधान का सेट समतल का वह भाग है जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अंतर्गत आता है वाई = | एक्स| – ए, और बाद वाला फ़ंक्शन का ग्राफ़ है
वाई = | एक्स| , द्वारा नीचे स्थानांतरित कर दिया गया ए. इस प्रणाली का समाधान प्रत्येक असमानताओं के समाधान सेट का प्रतिच्छेदन है।

नतीजतन, इस प्रणाली के दो समाधान होंगे केवल अंजीर में दिखाए गए मामले में। 1.

वृत्त और रेखाओं के बीच संपर्क के बिंदु सिस्टम के दो समाधान होंगे। प्रत्येक सीधी रेखा अक्षों पर 45° के कोण पर झुकी हुई है। तो त्रिकोण पीक्यूआर- आयताकार समद्विबाहु। डॉट क्यूनिर्देशांक हैं (0, ए), और बिंदु आर- निर्देशांक (0, - ए). इसके अलावा काटता है जनसंपर्कऔर पी क्यू 1 के बराबर वृत्त त्रिज्या के बराबर हैं। इसलिए,

क्यूआर= 2ए = √2, ए =	√2	.
	2

उत्तर: ए =	√2	.
	2

टास्क नंबर 19- विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर का कार्य। यह कार्य आवेदकों की गणितीय तैयारी के लिए बढ़ी हुई आवश्यकताओं वाले विश्वविद्यालयों के प्रतिस्पर्धी चयन के लिए अभिप्रेत है। उच्च स्तर की जटिलता का कार्य एक समाधान पद्धति को लागू करने का कार्य नहीं है, बल्कि विभिन्न विधियों के संयोजन के लिए है। कार्य 19 के सफल समापन के लिए, ज्ञात तरीकों में से विभिन्न दृष्टिकोणों को चुनना, अध्ययन किए गए तरीकों को संशोधित करना, एक समाधान खोजने में सक्षम होना आवश्यक है।

होने देना एस.एन.जोड़ पीएक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य ( एक पी). ह ज्ञात है कि एस एन + 1 = 2एन 2 – 21एन – 23.

ए) सूत्र दें पीइस प्रगति के वें सदस्य।

बी) सबसे छोटा मॉड्यूल योग खोजें एस एन.

ग) सबसे छोटा ज्ञात कीजिए पी, जिस पर एस एनएक पूर्णांक का वर्ग होगा।

समाधान: ए) जाहिर है, एक = एस एन – एस एन- 1। इस सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

एस एन = एस (एन – 1) + 1 = 2(एन – 1) 2 – 21(एन – 1) – 23 = 2एन 2 – 25एन,

एस एन – 1 = एस (एन – 2) + 1 = 2(एन – 1) 2 – 21(एन – 2) – 23 = 2एन 2 – 25एन+ 27

साधन, एक = 2एन 2 – 25एन – (2एन 2 – 29एन + 27) = 4एन – 27.

बी) क्योंकि एस एन = 2एन 2 – 25एन, फिर फ़ंक्शन पर विचार करें एस(एक्स) = | 2एक्स 2 – 25एक्स |. उसका ग्राफ चित्र में देखा जा सकता है।

यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन के शून्य के सबसे करीब स्थित पूर्णांक बिंदुओं पर सबसे छोटा मान पहुंच जाता है। जाहिर है ये बिंदु हैं। एक्स= 1, एक्स= 12 और एक्स= 13. चूंकि, एस(1) = |एस 1 | = |2 – 25| = 23, एस(12) = |एस 12 | = |2 144 - 25 12| = 12, एस(13) = |एस 13 | = |2 169 - 25 13| = 13, तो सबसे छोटा मान 12 है।

ग) यह पिछले पैराग्राफ से इस प्रकार है एस.एन.तब से सकारात्मक एन= 13. चूंकि एस एन = 2एन 2 – 25एन = एन(2एन- 25), तब स्पष्ट मामला जब यह अभिव्यक्ति एक पूर्ण वर्ग है, तब इसका एहसास होता है एन = 2एन- 25, यानी साथ पी= 25.

यह 13 से 25 तक के मूल्यों की जांच करने के लिए बनी हुई है:

एस 13 = 13 1, एस 14 = 14 3, एस 15 = 15 5, एस 16 = 16 7, एस 17 = 17 9, एस 18 = 18 11, एस 19 = 19 13 एस 20 = 20 13, एस 21 = 21 17, एस 22 = 22 19, एस 23 = 23 21, एस 24 = 24 23.

यह पता चला है कि छोटे मूल्यों के लिए पीपूर्ण वर्ग प्राप्त नहीं हुआ है।

उत्तर:ए) एक = 4एन- 27; बी) 12; ग) 25.

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*मई 2017 से, DROFA-VENTANA संयुक्त प्रकाशन समूह रूसी पाठ्यपुस्तक निगम का हिस्सा रहा है। निगम में एस्ट्रेल पब्लिशिंग हाउस और लेक्टा डिजिटल एजुकेशनल प्लेटफॉर्म भी शामिल है। अलेक्जेंडर ब्रिचकिन, रूसी संघ की सरकार के तहत वित्तीय अकादमी के स्नातक, आर्थिक विज्ञान के उम्मीदवार, प्रमुख अभिनव परियोजनाएंडिजिटल शिक्षा के क्षेत्र में DROFA पब्लिशिंग हाउस (पाठ्यपुस्तकों के इलेक्ट्रॉनिक रूप, रूसी इलेक्ट्रॉनिक स्कूल, डिजिटल शैक्षिक मंच LECTA)। DROFA पब्लिशिंग हाउस में शामिल होने से पहले, उन्होंने EKSMO-AST पब्लिशिंग होल्डिंग के रणनीतिक विकास और निवेश के लिए उपाध्यक्ष का पद संभाला। आज, रूसी पाठ्यपुस्तक प्रकाशन निगम के पास संघीय सूची में शामिल पाठ्यपुस्तकों का सबसे बड़ा पोर्टफोलियो है - 485 शीर्षक (लगभग 40%, सुधारक स्कूलों के लिए पाठ्यपुस्तकों को छोड़कर)। निगम के प्रकाशन गृह भौतिकी, ड्राइंग, जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान, प्रौद्योगिकी, भूगोल, खगोल विज्ञान में पाठ्यपुस्तकों के सेट के मालिक हैं, रूसी स्कूलों द्वारा सबसे अधिक मांग - ज्ञान के क्षेत्र जो देश की उत्पादन क्षमता को विकसित करने के लिए आवश्यक हैं। निगम के पोर्टफोलियो में शिक्षा में राष्ट्रपति पुरस्कार से सम्मानित प्राथमिक विद्यालयों के लिए पाठ्यपुस्तकें और शिक्षण सहायक सामग्री शामिल हैं। ये विषय क्षेत्रों पर पाठ्यपुस्तकें और नियमावली हैं जो रूस की वैज्ञानिक, तकनीकी और औद्योगिक क्षमता के विकास के लिए आवश्यक हैं।

मूल्यांकन

दो भाग, शामिल 19 कार्य. भाग ---- पहला भाग 2

3 घंटे 55 मिनट(235 मिनट)।

जवाब

लेकिन आप कर सकते हैं एक कम्पास बनाओ कैलकुलेटरपरीक्षा पर उपयोग नहीं किया.

पासपोर्ट), उत्तीर्णऔर केशिका या! लेने की अनुमति दीखुद के साथ पानी(एक पारदर्शी बोतल में) और खाना

परीक्षा पत्र के होते हैं दो भाग, शामिल 19 कार्य. भाग ---- पहलाएक संक्षिप्त उत्तर के साथ बुनियादी स्तर की जटिलता के 8 कार्य शामिल हैं। भाग 2एक संक्षिप्त उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर के 4 कार्य और विस्तृत उत्तर के साथ उच्च स्तर की जटिलता के 7 कार्य शामिल हैं।

गणित में परीक्षा कार्य पूरा करने के लिए दिया जाता है 3 घंटे 55 मिनट(235 मिनट)।

जवाबकार्यों के लिए 1-12 रिकॉर्ड किए गए हैं एक पूर्णांक या अंतिम दशमलव के रूप में. कार्य के पाठ में उत्तर फ़ील्ड में संख्याएँ लिखें, और फिर उन्हें परीक्षा के दौरान जारी की गई उत्तर पुस्तिका संख्या 1 में स्थानांतरित करें!

कार्य करते समय, आप कार्य के साथ जारी किए गए का उपयोग कर सकते हैं। आप केवल एक शासक का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन आप कर सकते हैं एक कम्पास बनाओअपने हाथों से। उन पर मुद्रित संदर्भ सामग्री वाले उपकरणों का उपयोग करने की मनाही है। कैलकुलेटरपरीक्षा पर उपयोग नहीं किया.

परीक्षा के लिए आपके पास एक पहचान दस्तावेज होना चाहिए। पासपोर्ट), उत्तीर्णऔर केशिका या काली स्याही वाला जेल पेन! लेने की अनुमति दीखुद के साथ पानी(एक पारदर्शी बोतल में) और खाना(फल, चॉकलेट, बन्स, सैंडविच), लेकिन दालान में जाने के लिए कहा जा सकता है।

मूल्यांकन

दो भाग, शामिल 19 कार्य. भाग ---- पहला भाग 2

3 घंटे 55 मिनट(235 मिनट)।

जवाब

लेकिन आप कर सकते हैं एक कम्पास बनाओ कैलकुलेटरपरीक्षा पर उपयोग नहीं किया.

गणित में परीक्षा कार्य पूरा करने के लिए दिया जाता है 3 घंटे 55 मिनट(235 मिनट)।

2019 में प्रोफ़ाइल स्तर पर गणित में यूएसई में कोई बदलाव नहीं हुआ है - परीक्षा कार्यक्रम, पिछले वर्षों की तरह, मुख्य गणितीय विषयों से सामग्री से बना है। टिकट में गणितीय, ज्यामितीय और बीजगणितीय समस्याएं शामिल होंगी।

प्रोफ़ाइल स्तर पर गणित में KIM USE 2019 में कोई बदलाव नहीं हैं।

गणित-2019 में यूएसई असाइनमेंट की विशेषताएं

गणित (प्रोफाइल) में परीक्षा की तैयारी करते समय, परीक्षा कार्यक्रम की बुनियादी आवश्यकताओं पर ध्यान दें। यह उन्नत कार्यक्रम के ज्ञान का परीक्षण करने के लिए डिज़ाइन किया गया है: वेक्टर और गणितीय मॉडल, कार्य और लघुगणक, बीजगणितीय समीकरण और असमानताएँ।
अलग से, कार्यों को हल करने का अभ्यास करें।
गैर-मानक सोच दिखाना जरूरी है।

परीक्षा संरचना

असाइनमेंट का उपयोग करेंप्रोफ़ाइल गणितदो ब्लॉकों में विभाजित।

भाग - लघु उत्तर, 8 कार्य शामिल हैं जो बुनियादी गणितीय प्रशिक्षण और दैनिक जीवन में गणित के ज्ञान को लागू करने की क्षमता का परीक्षण करते हैं।
भाग -संक्षिप्त और विस्तृत उत्तर. इसमें 11 कार्य होते हैं, जिनमें से 4 के लिए एक संक्षिप्त उत्तर की आवश्यकता होती है, और 7 - एक विस्तृत कार्य के तर्क के साथ।

बढ़ी हुई जटिलता- किम के दूसरे भाग के कार्य 9-17।
कठिनाई का उच्च स्तर- कार्य 18-19 -। परीक्षा कार्यों का यह हिस्सा न केवल गणितीय ज्ञान के स्तर की जाँच करता है, बल्कि शुष्क "संख्या" कार्यों को हल करने के लिए एक रचनात्मक दृष्टिकोण की उपस्थिति या अनुपस्थिति के साथ-साथ एक पेशेवर उपकरण के रूप में ज्ञान और कौशल का उपयोग करने की क्षमता की प्रभावशीलता की भी जाँच करता है। .

महत्वपूर्ण!इसलिए परीक्षा की तैयारी करते समय गणित में थ्योरी को हमेशा प्रैक्टिकल प्रॉब्लम सॉल्व करके सपोर्ट करें।

अंक कैसे बांटे जाएंगे?

गणित में KIM के पहले भाग के कार्य बुनियादी स्तर के USE परीक्षणों के करीब हैं, इसलिए उच्च स्कोरउन्हें प्राप्त करना असंभव है।

प्रोफ़ाइल स्तर पर गणित में प्रत्येक कार्य के लिए अंक निम्नानुसार वितरित किए गए:

कार्य संख्या 1-12 के सही उत्तर के लिए - प्रत्येक 1 अंक;
नंबर 13-15 - 2 प्रत्येक;
संख्या 16-17 - 3 प्रत्येक;
संख्या 18-19 - 4 प्रत्येक।

परीक्षा की अवधि और परीक्षा के लिए आचरण के नियम

परीक्षा पूरी करने के लिए -2019 छात्र सौंपा गया है 3 घंटे 55 मिनट(235 मिनट)।

इस समय के दौरान, छात्र को नहीं करना चाहिए:

शोर हो;
गैजेट्स और अन्य तकनीकी साधनों का उपयोग करें;
ख़ारिज करना;
दूसरों की मदद करने की कोशिश करें, या अपने लिए मदद मांगें।

ऐसे कार्यों के लिए, परीक्षक को दर्शकों से निष्कासित किया जा सकता है।

गणित में राज्य परीक्षा के लिए लाने की अनुमति दीकेवल एक रूलर आपके पास है, बाकी सामग्री परीक्षा से ठीक पहले आपको दे दी जाएगी। मौके पर जारी किया गया।

प्रभावी तैयारी ऑनलाइन गणित परीक्षण 2019 का समाधान है। उच्चतम अंक चुनें और प्राप्त करें!